De uma população X sim N(50,100) retira-se uma amostra de dez elementos e calculam-se os valores de sigmastar^2 e S^2. Encontre os valores pedidos abaixo, com a maior precisão possível.
P(S^2>100)=alpha, encontre alpha.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma população Xsim N(50,100) (isto é, média 50 e variância sigma^2=100). A gente tira uma amostra de tamanho n=10 e calcula o estimador padrão da variância amostral, S^2. A pergunta é:
“Qual é Pl(S^2>100r)=alpha?”
Conteúdo que vamos usar:
  • Distribuição amostral da variância de uma normal (conexão com qui-quadrado).
  • Propriedade: (n-1),S^2sigma^2simchi^2,n-1

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição de S^2. Se X1,dots,X10 são i.i.d.\ N(50,100), então
S^2 ;=; 1n-1sumi=1^10l(Xi-bar Xr)^2,
e a teoria nos dá que
(n-1),S^2sigma^2 ;=; 9;S^2100;sim;chi^29

Passo 3

A gente quer
Pl(S^2>100r)
Substituindo na chi-quadrado:
S^2>100 Long<=ftrightarrow 9,S^2100>9 Long<=ftrightarrow chi^29>9
Logo
Pl(S^2>100r) = Pl(chi^29>9r)

Passo 4

Agora, para achar alpha=P(chi^29>9), usamos tabela ou software estatístico. Em R, por exemplo, seria
1 - pchisq(9, df=9)
Isso dá (aproximadamente)
alpha approx 1 - Fchi^29(9)approx 0,48
Então, a probabilidade de a variância amostral ultrapassar 100 é cerca de 48%.

Resposta

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