A variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:
x 2 3 5 8
Probabilidade 0,2 0,4 0,3 0,1
Determine o seguinte:
e) V(X) (variância )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória $ X $ com uma distribuição de probabilidades específica. O que precisamos calcular é a variância dessa variável ($ \mathrm{V}(X) X íé \mu V(X) â \mathrm{V}(X) $). Vamos precisar calcular a média primeiro e depois usar essa média para encontrar a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ($ \mu $) da variável $ X $. A média é o valor esperado e é calculada multiplicando cada valor de $ X $ pela sua probabilidade e somando tudo isso. A fórmula é:
mu
Vamos aplicar os valores da tabela:
X

Passo 3

Agora, vamos fazer as multiplicações:
mu = (0,4) + (1,2) + (1,5) + (0,8) = 4,0
Então, a média $ \mu $ é 4,0.

Passo 4

Com a média conhecida, podemos calcular a variância ($ \mathrm{V}(X) $). A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância é:
V(X)
Vamos calcular $ (x - \mu)^2 $ para cada valor de $ X $:
Para $ x = 2 $:
X
Para $ x = 3 $:
V(X) = sum ( (x - mu)^2 times P(x) )
Para $ x = 5 $:
(x - mu)^2
Para $ x = 8 $:
X

Passo 5

Agora, multiplicamos cada um desses resultados pela probabilidade correspondente e somamos tudo:
V(X) = (4 times 0,2) + (1 times 0,4) + (1 times 0,3) + (16 times 0,1)
Fazendo as multiplicações:
V(X) = 0,8 + 0,4 + 0,3 + 1,6 = 3,1

Resposta

A variância da variável aleatória $ X $ é 3,1.

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