O diâmetro de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função de densidade dada por:
Calcule f(x)=c K(2 x-x^2), se 0 <= x <= 1 0, cc e E(X).

Passo 1

Tranquilo, aqui o enunciado diz que o diâmetro f(x)= Kl(2x - x^2r), & 0 <= x <= 1, 0, & caso contrário de um cabo tem densidade
á
O conteúdo é: variável aleatória contínua, densidade de probabilidade, expectativa e variância . Para resolver isso precisamos:
  1. Achar a constante de normalização usando .
  2. Calcular .
  3. Calcular .
  4. Finalmente .

Passo 2

Primeiro a gente garante que integral0^1 f(x),dx = integral0^1 Kl(2x - x^2r),dx = Kintegral0^1(2x - x^2),dx seja densidade:
integral0^1(2x - x^2),dx = l[x^2 - tfracx^33r]0^1 = 1 - tfrac13 = tfrac23
Calcule o integral interno:
K = 32
Para normalizar, exige-se , logo

Passo 3

Agora E(X) = 32integral0^1 x,(2x - x^2),dx = 32integral0^1(2x^2 - x^3),dx . Substituindo integral0^1(2x^2 - x^3),dx = l[tfrac2x^33 - tfracx^44r]0^1 = 23 - 14 = 8-312 = 512 :
E(X) = 32times512 = 1524 = 58
Calcule o integral:
Então

Passo 4

Para a variância precisamos de E(X^2) = 32integral0^1x^2(2x - x^2),dx = 32integral0^1(2x^3 - x^4),dx :
integral0^1(2x^3 - x^4),dx = l[tfrac2x^44 - tfracx^55r]0^1 = 12 - 15 = 5-210 = 310
O integral é
E(X^2) = 32times310 = 920
Logo

Passo 5

Agora a gente aplica a fórmula da variância:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 920 - l(58r)^2 = 920 - 2564
Para subtrair, passe a fração para denominador 320:
920 = 144320, 2564=125320,
então
Var(X) = 144320 - 125320 = 19320

Resposta

E(X) =
Var(X) =

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