Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2 e desvio padrão de 0,01^prime prime. Os canos com diâmetros que variem de mais de 0.03 a contar da média são considerados defeituosos. Supondo que os diâmetros dos canos tenham distribuição normal, calcule a porcentagem de canos defeituosos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. Temos um processo que faz canos com diâmetro médio de 2″ e desvio padrão de 0,01″. Chamamos de “defeituosos” aqueles canos cujo diâmetro varia mais de 0,03″ pra cima ou pra baixo em relação à média. Como a variável segue uma distribuição normal, nosso conteúdo aqui é: distribuição normal, padronização (transformar em Z) e usar a tabela da normal padrão pra achar probabilidades.

Passo 2

O que queremos é a probabilidade de um cano ser defeituoso, ou seja:
Pl(|X - 2| > 0.03r)
Isso quebra em dois pedaços:
P(X < 2 - 0.03) + P(X > 2 + 0.03) = P(X < 1.97) + P(X > 2.03)
A teoria diz que, por simetria da normal, essas duas probabilidades são iguais. Então basta calcular uma e multiplicar por 2.

Passo 3

Para calcular Z = X - musigma , a gente padroniza:
z = 2.03 - 20.01 = 0.030.01 = 3
Aqui P(Z > 3) = 1 - Phi(3) = 1 - 0.99865 = 0.00135 e . Então, para :
Na tabela da normal padrão, , que é . Logo

Passo 4

Como a probabilidade de estar abaixo de 1.97 é a mesma de estar acima de 2.03, a gente faz:
2 times 0.00135 = 0.0027
Convertendo pra porcentagem:
0.0027 times 100% = 0.27%

Resposta

A porcentagem de canos defeituosos é de aproximadamente 0,27%.

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