O diâmetro de um cabo elétrico é uma variável aleatória normal com média de 5 mm e desvio padrão de 0,1 \mathrm{~mm}.
(a) Qual a probabilidade de que o diâmetro de um cabo selecionado aleatoriamente esteja entre 4,9 \mathrm{~mm} e 5,1 \mathrm{~mm} ?
(b) Determine o diâmetro acima do qual estão os 1 \% maiores diâmetros.
(c) Se um lote contém 1000 cabos, quantos cabos espera-se que tenham diâmetro maior que 5, 2 mm ?

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória que representa o diâmetro de um cabo e pede três coisas. Informações fornecidas:
  • Média: \mu=5\\ \mathrm{mm}.
  • Desvio padrão: \sigma=0,1\\ \mathrm{mm}.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual a probabilidade de que o diâmetro esteja entre 4,9\\ \mathrm{mm} e 5,1\\ \mathrm{mm}?
(b) Qual o diâmetro acima do qual estão os 1\% maiores diâmetros?
(c) Num lote de 1000 cabos, quantos espera-se que tenham diâmetro maior que 5,2\\ \mathrm{mm}?

Passo 2

Conceito e ferramenta principal (padronização): quando X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, para calcular probabilidades usa-se a padronização
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem a distribuição normal padrão N(0,1) (média 0 e desvio 1). As probabilidades com X viram probabilidades com Z que são lidas na tabela da normal padrão (função de distribuição \Phi). Exemplos rápidos de interpretação:
  • \Phi(a)=P(Z\le a).
  • P(a<Z<b)=\Phi(b)-\Phi(a).
  • Pela simetria de Z, \Phi(-a)=1-\Phi(a).
Vou aplicar isso a cada item.

Passo 3

Resolvendo (a). Queremos
P(4,9\le X\le 5,1).
Padronizando os extremos:
z_1=\frac{4,9-5}{0,1}=-1,\qquad z_2=\frac{5,1-5}{0,1}=1.
Portanto
P(4,9\le X\le 5,1)=P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Usando simetria \Phi(-1)=1-\Phi(1), obtemos
P(-1\le Z\le 1)=2\Phi(1)-1.
Na tabela da normal padrão \Phi(1)\approx0,841344746. Logo
P(4,9\le X\le 5,1)=2\cdot0,841344746-1=0,682689492\approx0,6827,
ou seja aproximadamente 68,27\%. Observação prática: este é o famoso intervalo de \pm1 desvio padrão que contém cerca de 68{,}27\% da distribuição normal.

Passo 4

Resolvendo (b). Queremos o valor x tal que os 1\% maiores diâmetros estão acima de x. Em termos de probabilidade:
P(X>x)=0,01 \quad\Longrightarrow\quad P(X\le x)=0,99.
Padronizando, isso significa encontrar z tal que \Phi(z)=0,99. O valor inverso da normal padrão é z_{0,99}=\Phi^{-1}(0,99). Pela tabela ou calculadora:
z_{0,99}\approx2,326347874.
Voltando para X,
x=\mu+z_{0,99}\sigma=5+2,326347874\cdot0,1=5+0,2326347874=5,2326347874\\ \mathrm{mm}.
Arredondando razoavelmente, x\approx5,233\\ \mathrm{mm}. Portanto, apenas 1\% dos cabos têm diâmetro maior que aproximadamente 5,233\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Resolvendo (c). Queremos o número esperado de cabos em 1000 com diâmetro maior que 5,2\\ \mathrm{mm}. Primeiro a probabilidade de um cabo ter diâmetro >5,2\\ \mathrm{mm}:
z=\frac{5,2-5}{0,1}=2.
Então
P(X>5,2)=P(Z>2)=1-\Phi(2).
Da tabela, \Phi(2)\approx0,977249868. Assim
P(X>5,2)=1-0,977249868=0,022750132\approx0,02275.
Em 1000 cabos, o número esperado (valor esperado) é
1000\times0,022750132=22,750132\approx22,75\\ \text{cabos},
ou, interpretando como quantidade inteira esperada, aproximadamente 23 cabos. Observação: o valor exato esperado pode ser fracionário; na prática dir-se-ia esperar cerca de 23 cabos.

Resposta

(a) 0,682689492 (≈ 68,27\%)
(b) 5,2326347874\\ \mathrm{mm} (≈ 5,233\\ \mathrm{mm})
(c) 22,750132 cabos (≈ 23 cabos)

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