O diâmetro de um cabo elétrico é uma variável aleatória normal com média de 5 mm e desvio padrão de
.
(a) Qual a probabilidade de que o diâmetro de um cabo selecionado aleatoriamente esteja entre
e
?
(b) Determine o diâmetro acima do qual estão os
maiores diâmetros.
(c) Se um lote contém 1000 cabos, quantos cabos espera-se que tenham diâmetro maior que 5, 2 mm ?
(a) Qual a probabilidade de que o diâmetro de um cabo selecionado aleatoriamente esteja entre
(b) Determine o diâmetro acima do qual estão os
(c) Se um lote contém 1000 cabos, quantos cabos espera-se que tenham diâmetro maior que 5, 2 mm ?
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória que representa o diâmetro de um cabo e pede três coisas. Informações fornecidas:
- Média:
. - Desvio padrão:
.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual a probabilidade de que o diâmetro esteja entre e
?
(b) Qual o diâmetro acima do qual estão os maiores diâmetros?
(c) Num lote de cabos, quantos espera-se que tenham diâmetro maior que
?
(a) Qual a probabilidade de que o diâmetro esteja entre
(b) Qual o diâmetro acima do qual estão os
(c) Num lote de
Passo 2
Conceito e ferramenta principal (padronização): quando
é normal com média
e desvio padrão
, para calcular probabilidades usa-se a padronização
onde
tem a distribuição normal padrão
(média
e desvio
). As probabilidades com
viram probabilidades com
que são lidas na tabela da normal padrão (função de distribuição
). Exemplos rápidos de interpretação:
-
. -
. - Pela simetria de
, .
Vou aplicar isso a cada item.
Passo 3
Resolvendo (a). Queremos
Padronizando os extremos:
Portanto
Usando simetria
, obtemos
Na tabela da normal padrão
. Logo
ou seja aproximadamente
. Observação prática: este é o famoso intervalo de
desvio padrão que contém cerca de
da distribuição normal.
Passo 4
Resolvendo (b). Queremos o valor
tal que os
maiores diâmetros estão acima de
. Em termos de probabilidade:
Padronizando, isso significa encontrar
tal que
. O valor inverso da normal padrão é
. Pela tabela ou calculadora:
Voltando para
,
Arredondando razoavelmente,
. Portanto, apenas
dos cabos têm diâmetro maior que aproximadamente
.
Passo 5
Resolvendo (c). Queremos o número esperado de cabos em
com diâmetro maior que
. Primeiro a probabilidade de um cabo ter diâmetro
:
Então
Da tabela,
. Assim
Em
cabos, o número esperado (valor esperado) é
ou, interpretando como quantidade inteira esperada, aproximadamente
cabos. Observação: o valor exato esperado pode ser fracionário; na prática dir-se-ia esperar cerca de
cabos.
Resposta
(a)
(≈
)
(b) (≈
)
(c) cabos (≈
cabos)
(b)
(c)