O tempo de vida de um tipo específico de componente eletrônico é modelado por uma distribuição normal com média de 1000 horas e desvio padrão de 100 horas.
Qual a probabilidade de que um componente selecionado aleatoriamente dure mais de 1200 horas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Variável aleatória: tempo de vida do componente, denotar por X.
  • Distribuição: X é normalmente distribuída com média e desvio padrão dados.
  • Parâmetros: \mu = 1000\\ \text{horas},\qquad \sigma = 100\\ \text{horas}.
  • Pedido: calcular a probabilidade de que um componente escolhido aleatoriamente dure mais de 1200 horas, isto é: \text{calcular } P\bigl(X>1200\bigr).

Passo 2

O que significa calcular P\bigl(X>1200\bigr) aqui? Para uma variável contínua como a normal, probabilidades são áreas sob a curva da densidade. Em vez de integrar diretamente a função da normal com média \mu e desvio \sigma, usamos a padronização para transformar X numa normal padrão Z (média 0, desvio 1), cuja tabela de probabilidades é conhecida.
A padronização é feita por:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Interpretando:
  • Z mede quantos desvios-padrão um valor X está acima ( Z>0) ou abaixo ( Z<0) da média.
  • Para qualquer a,
P\bigl(X>a\bigr)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=P\bigl(Z>z_a\bigr),
onde z_a=\dfrac{a-\mu}{\sigma}.
A tabela da normal padrão (ou calculadora) dá \Phi(z)=P(Z\le z). Então:
P(Z>z)=1-\Phi(z).
Também é útil saber a simetria: P(Z>z)=P(Z<-z).

Passo 3

Vamos aplicar a padronização ao nosso número a=1200.
Calcular o escore-z correspondente:
z=\frac{1200-\mu}{\sigma}=\frac{1200-1000}{100}=\frac{200}{100}=2.
Portanto
P\bigl(X>1200\bigr)=P(Z>2).

Passo 4

Agora usamos a tabela da normal padrão (valores clássicos) para \Phi(2). A tabela fornece
\Phi(2)\approx 0,97725.
Assim
P(Z>2)=1-\Phi(2)=1-0,97725=0,02275\approx 0,0228.
Também por simetria: P(Z>2)=P(Z<-2)\approx 0,0228.

Passo 5

Interpretação final: a probabilidade de que um componente dure mais que 1200 horas é cerca de 0,0228, ou seja aproximadamente 2,28\%. Em palavras mais amigáveis: entre 2 e 3 em cada 100 componentes irão ultrapassar 1200 horas.

Resposta

P(X>1200)\approx 0,0228 (aprox. 2,28\%)

Exercícios relacionados