O diâmetro x de um cabo é uma VAC com distribuição normal, com média de 21 mm e desvio padrão de 1,5 mm. A probabilidade de um cabo sair com diâmetro fora das especificações é de p1 = 0,691759 - p(x>23). Considerando p=p 1 / 800 a probabilidade de um cavo ser rejeitado, determine a probabilidade de que na produção de 8000 cabos no máximo 3 sejam rejeitados. (Reposta: 15,12%).

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que o diâmetro p1 = 0,691759 - P(X>23) de um cabo é Normal com média p = p1800, mm e desvio padrão mm. Foi dado que a probabilidade de um cabo sair fora de especificação é
Em seguida definem a probabilidade de um cabo ser rejeitado como
e pedem a chance de, numa produção de cabos, no máximo serem rejeitados.
Para resolver isso vamos usar:
  • cálculo de probabilidades na distribuição Normal (para achar ),
  • depois a probabilidade de rejeição ,
  • e por fim o modelo de contagem de rejeitados (Binomial, que a gente vai aproximar por Poisson, já que é grande e bem pequeno).

Passo 2

Calcular Z = X - musigma = 23 - 211,5 = 21,5 = 1,3333ldots .
  1. Transformamos em variável padrão P(X>23) = Pl(Z>1,3333r)approx 1 - Phi(1,3333) approx 1 - 0,908788 = 0,091212 :
  2. Procuramos na tabela normal ou calculadora:

Passo 3

Agora a probabilidade de “fora de especificação” é
p1 = 0,691759 - 0,091212 = 0,600547
Isso significa que, em média, 60,0547% dos cabos estariam fora da faixa desejada (segundo o enunciado e o dado numérico).

Passo 4

A probabilidade de um cabo ser rejeitado vale
p = p1800 = 0,600547800 approx 0,000750684

Passo 5

Na produção de lambda = n,p = 8000 times 0,000750684 approx 6,00547 cabos, o número de cabos rejeitados segue uma Binomial .
Como é grande e é muito pequeno, a gente usa a aproximação de Poisson com parâmetro
Então .

Passo 6

Queremos
P(Y <= 3) = sumk=0^3 e^-lambda,lambda^kk! = sumk=0^3 e^-6,00547,6,00547^kk!
Calculando termo a termo (ou usando função de distribuição acumulada de Poisson), dá
P(Y <= 3) approx 0,1512 (ou seja, 15,12%)

Resposta

A probabilidade de que, entre 8000 cabos, no máximo 3 sejam rejeitados é aproximadamente 15,12 %.

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