Um fabricante de produtos alimentícios vende um produto em latas de 900 g. Para embalar adquiriu uma máquina que permite obter o peso desejado com distribuição normal e desvio padrão de 10 g. A vigilância exige que no máximo 5 % das latas contenham menos que o peso desejado. Qual a probabilidade do peso estar abaixo do exigido se a máquina for regulada para 910 g ? Qual deverá ser a regulagem da máquina para satisfazer a exigência da vigilância? Feita esta nova regulagem, a vigilância examina uma amostra de 20 latas. Qual a probabilidade de encontrar pelo menos 3 latas com peso inferior ao especificado na embalagem? (Repostas: (a) 15,87 %, (b) mu=916,4 ou seja X:N (916,4;100), © 0,07548).

Passo 1

Então, o que diz o exercício? A gente tem latas de 900 g, a máquina entrega peso com distribuição normal (ou “gaussiana”) e desvio padrão de 10 g. A vigilância quer que no máximo 5 % das latas fiquem abaixo de 900 g. Perguntas:
a) Se a máquina estiver regulada para 910 g em média (μ=910 g), qual é a probabilidade de dar menos de 900 g?
b) Qual deve ser a média (μ) pra que só 5 % fiquem abaixo de 900 g?
c) Com essa nova média, numa amostra de 20 latas, qual a probabilidade de pelo menos 3 estarem com peso < 900 g?
Conteúdo que vamos usar:
  • Distribuição Normal: padronização e consulta na tabela Z.
  • Distribuição Binomial: fórmula de probabilidade e soma complementar.

Passo 2

Resolvendo (a): querermos P(X<900) quando X~N(μ=910, σ²=10²).
  1. Entenda a padronização: a variável Z é
Z = X - musigma
  1. Então
P(X < 900) = P!l(Z < tfrac900 - 91010r) = P(Z < -1)
  1. Na tabela da normal padrão, P(Z < -1) = 0,1587.
  2. Em porcentagem, isso é 15,87 %.

Passo 3

Resolvendo (b): queremos μ tal que P(X<900)=0,05, com σ=10.
  1. Escrevemos
P(X < 900) = P!l(Z < 900 - mu10r) = 0,05
  1. Pelo inverso da tabela, o valor crítico z que deixa 5 % à esquerda é z₀ = –1,645.
  2. Logo
900 - mu10 = -1,645 Longrightarrow mu = 900 + 1,645 times 10 = 916,45
  1. Arredondando, μ≈916,4 g. Então X~N(916,4; 100).

Passo 4

Resolvendo ©: agora X~N(916,4; 100), mas a vigilância olha se a lata está abaixo de 900 g. Já sabemos que nessa regulagem P(X<900)=0,05.
  1. Formamos uma distribuição binomial Y~Bin(n=20, p=0,05), onde Y = número de latas <900 g.
  2. Queremos P(Y ≥ 3). É mais fácil usar a soma complementar:
P(Y >= 3) = 1 - l[P(0)+P(1)+P(2)r]
  1. Lembrando a fórmula
P(k) = binom20k ,0,05^k ,0,95^20-k
  1. Calculando (usando tabela ou calculadora):
    P(0) = 0,95²⁰ ≈ 0,3587
    P(1) = 20·0,05·0,95¹⁹ ≈ 0,3774
    P(2) = 190·0,05²·0,95¹⁸ ≈ 0,1887
    Somando: 0,3587+0,3774+0,1887 = 0,9248
  2. Então
P(Y >= 3) = 1 - 0,9248 = 0,0752 (approx 0,07548)

Resposta

(a) 15,87 %
(b) μ ≈ 916,4 g, isto é X~N(916,4; 100)
© 0,07548

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