Uma máquina automática enche latas baseada em pesos brutos. O peso bruto tem distribuição normal com mu=1000 g e sigma=20 g. As latas tem peso distribuído normalmente, com mu=90 g e sigma=10 g. Qual a probabilidade de que uma lata tenha de peso líquido: mais de 870?

Passo 1

Então, o enunciado diz que uma máquina enche latas e mede o peso bruto (lata + conteúdo) que é Normal com média muX=1000,g e desvio sigmaX=20,g. A própria lata (o “peso da lata”) é outra Normal com muY=90,g e sigmaY=10,g. Queremos a probabilidade de o peso líquido (conteúdo) ser maior que 870 g, ou seja
P(X - Y > 870)
O conteúdo da matéria aqui é “diferença de variáveis normais independentes” e “padronização para usar a tabela normal”. Vamos precisar da fórmula da soma/diferença de normais e da transformação para a Normal Padrão.

Passo 2

Teoria: se Xsim N(muX,sigmaX^2) e Ysim N(muY,sigmaY^2) são independentes, então
Z = X - Y sim Nl(muZ,sigmaZ^2r)
com
muZ = muX - muY, sigmaZ^2 = sigmaX^2 + sigmaY^2
Aqui,
muZ = 1000 - 90 = 910(g), sigmaZ^2 = 20^2 + 10^2 = 400 + 100 = 500,
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sigmaZ = raiz500approx 22,36(g)

Passo 3

Agora queremos
P(Z > 870) = Pl(Z - muZsigmaZ > 870 - 910raiz500r)
Calculando o numerador: 870 - 910 = -40, então
870 - 910raiz500 = -4022,36 approx -1,7889
Definindo W = Z - muZsigmaZsim N(0,1), temos
P(Z > 870) = Pl(W > -1,7889r)

Passo 4

Na tabela da Normal Padrão, P(W > -a) = 1 - P(W <= -a) = 1 - l[1 - Phi(a)r] = Phi(a).
Aqui a = 1,7889, então
P(Z > 870) = Phi(1,7889)
Consultando a tabela (ou calculadora), $\Phi(1{,}789)\approx 0{,}963.

Resposta

A probabilidade de a lata ter peso líquido maior que 870 g é aproximadamente 0,963.

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