O peso de um saco de café é uma VAC que tem distribuição normal com média de 65 kg e desvio padrão de 4 kg . Um caminhão é carregado com 120 sacos. Qual a probabilidade da carga do caminhão pesar: entre 7893 kg e 7910 kg ?

Passo 1

Então, o exercício diz que o peso de cada saco de café é uma variável aleatória contínua com distribuição normal de média kg e desvio-padrão kg. A gente vai carregar 120 sacos e quer saber a probabilidade de a soma desses pesos ficar entre 7893 kg e 7910 kg.
Conteúdo: distribuição normal, soma de variáveis normais e padronização.

Passo 2

A teoria manda que, se S = X1 + X2 + cdots + X120 são independentes e cada uma segue E[S] = 120,mu, Var(S) = 120,sigma^2 , então a soma
E[S] = 120 times 65 = 7800, Var(S) = 120 times 4^2 = 120 times 16 = 1920,
também é normal, com
sigmaS = raiz1920 approx 43,82
Aqui:
logo o desvio-padrão de é

Passo 3

Para calcular
P(7893 <= S <= 7910),
a gente padroniza Z = S - E[S]sigmaS = S - 780043,82 transformando em z1 = 7893 - 780043,82 approx 2,12, z2 = 7910 - 780043,82 approx 2,51 :
Então os limites viram

Passo 4

Usando a tabela da normal padrão ( Phi(2,12)approx 0,9830, Phi(2,51)approx 0,9940 ), encontramos:
P(7893 <= S <= 7910) = Pl(2,12 <= Z <= 2,51r) = Phi(2,51) - Phi(2,12),
Como
P approx 0,9940 - 0,9830 = 0,0110
temos

Resposta

A probabilidade de a carga pesar entre 7893 kg e 7910 kg é aproximadamente (1,10%).

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