E3.8 O diâmetro de um eixo de alumínio foi medido por um micrômetro de aço em um dia frio, quando a temperatura era de
, sendo encontrada a indicação
. Sabendo que o coeficiente de dilatação térmica do alumínio é
e o do aço é de
, calcule e aplịque o fator de correção neçessário para compensar o erro devido à temperatura.
Passo 1
Beleza! O enunciado diz o seguinte: um eixo de alumínio foi medido com um micrômetro de aço, num dia frio (5 °C), e deu 20,112 mm. Como tanto o eixo quanto o micrômetro mudam de tamanho com a temperatura, a gente precisa “corrigir” essa leitura pro valor padrão (que normalmente é 20 °C).
Conteúdo: dilatação térmica linear. A gente vai usar o coeficiente de dilatação do alumínio (αₐ = 23,0 μm/(m·K)) e do aço (αₑ = 11,5 μm/(m·K)) e a diferença de temperatura ΔT = T_medida – T_ref = 5 °C – 20 °C = –15 K, pra achar um fator de correção.
Conteúdo: dilatação térmica linear. A gente vai usar o coeficiente de dilatação do alumínio (αₐ = 23,0 μm/(m·K)) e do aço (αₑ = 11,5 μm/(m·K)) e a diferença de temperatura ΔT = T_medida – T_ref = 5 °C – 20 °C = –15 K, pra achar um fator de correção.
Passo 2
Teoria passo a passo:
- Qual é o “tamanho real” do eixo à temperatura de referência (20 °C)?
- A leitura que deu 20,112 mm foi feita a 5 °C, mas:
- O eixo, que “vale” L_ref à 20 °C, encolhe para L₅ = L_ref·(1 + αₐ·ΔT).
- O micrômetro, cujo passo de fuso “vale” p_ref a 20 °C, encolhe para p₅ = p_ref·(1 + αₑ·ΔT).
- A leitura L_indicada = 20,112 mm corresponde a um certo número de voltas n do fuso:
L_indicada = n·p_ref = L₅·(p_ref / p₅) ⇒ L₅ = L_indicada·(p₅/p_ref) = L_indicada·(1 + αₑ·ΔT) - Então o comprimento real à 20 °C é
L_ref = L₅ / (1 + αₐ·ΔT) = L_indicada·(1 + αₑ·ΔT) / (1 + αₐ·ΔT).
Passo 3
Agora plugando os números:
ΔT = 5 °C − 20 °C = −15 K
αₐ = 23,0 μm/(m·K) = 23,0·10⁻⁶ K⁻¹
αₑ = 11,5·10⁻⁶ K⁻¹
ΔT = 5 °C − 20 °C = −15 K
αₐ = 23,0 μm/(m·K) = 23,0·10⁻⁶ K⁻¹
αₑ = 11,5·10⁻⁶ K⁻¹
Fator de correção K = (1 + αₑ·ΔT) / (1 + αₐ·ΔT)
= (1 + 11,5·10⁻⁶·(−15)) / (1 + 23,0·10⁻⁶·(−15))
= (1 − 172,5·10⁻⁶) / (1 − 345·10⁻⁶)
= 0,9998275 / 0,999655
≈ 1,0001727
= (1 + 11,5·10⁻⁶·(−15)) / (1 + 23,0·10⁻⁶·(−15))
= (1 − 172,5·10⁻⁶) / (1 − 345·10⁻⁶)
= 0,9998275 / 0,999655
≈ 1,0001727
Então o diâmetro corrigido vale:
L_ref = 20,112 mm × 1,0001727 ≈ 20,1155 mm
L_ref = 20,112 mm × 1,0001727 ≈ 20,1155 mm
Resposta
Multiplicando a leitura (20,112 mm) pelo fator de correção
K ≃ 1,000173
a gente encontra o diâmetro compensado a 20 °C:
K ≃ 1,000173
a gente encontra o diâmetro compensado a 20 °C:
Resposta final: 20,1155 mm.