O diâmetro de um eixo em um pequeno motor é suposto ser de 5 milímetros. Considere que o diâmetro em questão é normalmente distribuido. Se o eixo for muito pequeno ou muito grande, o motor não funcionará adequadamente. O fabricante mede o diâmetro em uma amostra de 10 motores para determinar se o diâmetro médio se afastou do alvo. Considere uma amostra na qual a média amostral foi de 4.8 milímetros, com desvio padrão amostral de 0.25 milímetros. Para esta amostra, ao nível de significância de 5%, apresente:
informe a conclusão.
informe a conclusão.
Passo 1
Então, o enunciado diz que o diâmetro de um eixo de motor devia ser μ₀ = 5 mm e que temos uma amostra de n = 10 eixos, com média amostral \bar x = 4{,}8 mm e desvio padrão amostral s = 0{,}25 mm. O diâmetro é assumido normalmente distribuído, mas como n é pequeno e não sabemos σ, a gente vai usar o teste t de Student para média.
Passo 2
Formulando o teste:
Hipótese nula H₀: μ = 5 mm
Hipótese alternativa H₁: μ ≠ 5 mm
É um teste bilateral porque queremos ver se o diâmetro “se afastou” do alvo, seja pra mais ou pra menos.
Hipótese nula H₀: μ = 5 mm
Hipótese alternativa H₁: μ ≠ 5 mm
É um teste bilateral porque queremos ver se o diâmetro “se afastou” do alvo, seja pra mais ou pra menos.
Passo 3
Condição para usar o t de Student:
- A população é normal (dado no enunciado).
- n é pequeno (n = 10) e σ é desconhecido.
Portanto, usamos a distribuição t com df = n–1 = 9.
Passo 4
Calculando a estatística de teste:
t = (\bar x – μ₀) / (s / √n)
Em LaTeX:
t = \frac{4.8 - 5}{0.25 / \sqrt{10}}
t = \frac{-0.2}{0.25 / 3.1623}
t ≈ \frac{-0.2}{0.0791}
t ≈ -2.53
t = (\bar x – μ₀) / (s / √n)
Em LaTeX:
t = \frac{4.8 - 5}{0.25 / \sqrt{10}}
t = \frac{-0.2}{0.25 / 3.1623}
t ≈ \frac{-0.2}{0.0791}
t ≈ -2.53
Passo 5
Determinando o valor crítico para α = 0{,}05 em teste bilateral:
nível em cada cauda = 0{,}025, df = 9 → t_{crítico} ≈ ±2.262
Comparando: |t| = 2.53 > 2.262, então caímos na região de rejeição de H₀.
Alternativamente, o p-valor ≈ 2·P(T₉ > 2.53) ≈ 0.032 < 0.05, reforçando que rejeitamos H₀.
nível em cada cauda = 0{,}025, df = 9 → t_{crítico} ≈ ±2.262
Comparando: |t| = 2.53 > 2.262, então caímos na região de rejeição de H₀.
Alternativamente, o p-valor ≈ 2·P(T₉ > 2.53) ≈ 0.032 < 0.05, reforçando que rejeitamos H₀.
Resposta
Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5%. Há evidência estatística de que o diâmetro médio se afastou dos 5 mm.