Qual o diâmetro de um orifício em parede fina cuja vazão é de 800 \mathrm{~L} / \mathrm{s} sob carga hidráulica de 2 m no seu centro. \mathrm{Cd}=62 \%. Resp.: 512,12 mm

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o diâmetro de um orifício em parede fina, dado que:
  • vazão Q = 800\\ \mathrm{L/s},
  • carga hidráulica (carga de água sobre o centro do orifício) h = 2\\ \mathrm{m},
  • coeficiente de descarga \mathrm{C_d} = 62\%.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Vou converter a vazão para unidades SI: 800\\ \mathrm{L/s} = 0,8\\ \mathrm{m^3/s}.
  • O problema fornece \mathrm{C_d}=0{,}62 (já em fração).
  • Usarei a aceleração da gravidade g no valor usual 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O que é pedido: determinar o diâmetro d do orifício que dá essa vazão sob a carga de 2\\ \mathrm{m}.

Passo 2

A fórmula básica para vazão através de um orifício em parede fina (chute livre para um reservatório, aproximação clássica) é:
Q = C_d \, A \, \sqrt{2 g h}
onde:
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}),
  • C_d é o coeficiente de descarga (adimensional),
  • A é a área da seção do orifício ( \mathrm{m^2}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • h é a carga (altura de água), em metros.
Explicando a fórmula de forma didática: a velocidade teórica de saída devido à carga h é dada pela equação de Torricelli v=\sqrt{2gh}. A vazão é essa velocidade multiplicada pela área, mas devido a efeitos de contração e perdas, usamos um coeficiente C_d para obter a vazão real.

Passo 3

Isolamos a área A na fórmula:
A = \frac{Q}{C_d \, \sqrt{2 g h}}.
Agora vamos substituir os valores conhecidos (convertendo unidades quando necessário):
  • Q = 0{,}8\\ \mathrm{m^3/s},
  • C_d = 0{,}62,
  • g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
  • h = 2\\ \mathrm{m}.
Primeiro calculemos o termo \sqrt{2 g h}:
2 g h = 2 \cdot 9{,}81 \cdot 2 = 39{,}24
\sqrt{2 g h} = \sqrt{39{,}24}\approx 6{,}263\\ (\mathrm{m/s}).
Agora o produto C_d \sqrt{2 g h}:
C_d \, \sqrt{2 g h} = 0{,}62 \cdot 6{,}263 \approx 3{,}882\\ (\mathrm{m/s}).
Logo a área:
A = \frac{0{,}8}{3{,}882}\approx 0{,}2061\\ \mathrm{m^2}.
(Na prova faça as contas com calma: calcule \sqrt{2gh} com uma raiz, multiplique por C_d e divida Q por esse produto para obter A.)

Passo 4

Agora relacionamos a área A com o diâmetro d. A área de um orifício circular é:
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Isolando d:
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Substituindo o valor de A que encontramos:
d = \sqrt{\frac{4 \cdot 0{,}2061}{\pi}}.
Calcule passo a passo:
4A = 4 \cdot 0{,}2061 = 0{,}8244,
\frac{4A}{\pi} = \frac{0{,}8244}{3{,}14159265}\approx 0{,}2624,
d = \sqrt{0{,}2624}\approx 0{,}5121\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Conversão para milímetros e apresentação final:
d \approx 0{,}5121\\ \mathrm{m} = 512{,}12\\ \mathrm{mm}.
Parabéns — chegamos ao diâmetro. Dá pra fazer tudo isso à mão na prova: transformar Q para \mathrm{m^3/s}, calcular \sqrt{2gh}, achar A por divisão e depois usar a fórmula da área do círculo para chegar em d. Vai dar certo — respira e resolve passo a passo como fizemos.

Resposta

\,512{,}12\\ \mathrm{mm}

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