Que diâmetro de tubo deve ser instalado para transportar 0,0222 m^3 / s de óleo combustível pesado a 16^circ C com viscosidade cinemática v=2,05 times 10^-4 m^2 / s e densidade igual a 0,912 . A perda de carga disponível nos 300 m de tubo é de 6,7m. Obs. Adote a hipótese inicial de escoamento laminar e verifique posteriormente tal hipótese.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente descobrir qual diâmetro de tubo é necessário para transportar Q = 0,0222 m³/s de óleo (densidade ρ=0,912 (ou seja 912 kg/m³) e viscosidade cinemática ν=2,05×10⁻⁴ m²/s) em um trecho de L = 300 m, sabendo que a perda de carga disponível é h_f = 6,7 m. A ideia é usar escoamento laminar (fator de atrito ) e a equação de Darcy–Weisbach para achar D. Depois vamos checar se o escoamento realmente ficou laminar.

Passo 2

Primeiro vamos apresentar a teoria básica:
  1. Vazão x velocidade média Q = A,v = l(pi D^24r),v Longrightarrow v = 4Qpi D^2
  2. Número de Reynolds (para ver se é laminar) Re = v,Dnu
  3. Fator de atrito em escoamento laminar f = 64Re
  4. Equação de Darcy–Weisbach (queda de carga h_f em metros de coluna de fluido) hf = f,LD,v^22g
Nos próximos passos a gente vai juntar essas fórmulas e isolar D.

Passo 3

Vamos combinar tudo pra tirar D:
  1. Substituir Re = l(4Q/(pi D^2)r),Dnu = 4Qpi D,nu em f = 64Re = 64,pi,D,nu4Q = 16pi,D,nuQ : hf = l(16pi DnuQr),LD, 12gl(4Qpi D^2r)^2
  2. Então hf = 128,nu,L,Qpi,g,D^4
  3. Subir na Darcy–Weisbach: D^4 = 128,nu,L,Qpi,g,hfLongrightarrow D = l(128,nu,L,Qpi,g,hfr)^1/4
  4. Simplificando passo a passo dá
  5. Aí isolamos :

Passo 4

Só meter os números:
nu = 2,05times10^-4,m^2/s,; L=300,m,; Q=0,0222,m^3/s,; g=9,81,m/s^2,; hf=6,7,m
Então
D^4 = 128,(2,05times10^-4),300,(0,0222) pi,(9,81),(6,7) approx 8,46times10^-4,
D approx (8,46times10^-4)^1/4 approx 0,1705;m = 170,5;mm

Passo 5

Agora checamos o v = 4Qpi D^2 = 4cdot0,0222pi,(0,1705)^2 approx 0,97;m/s, de verdade pra ver se ficou laminar ( Re = v,Dnu = 0,97cdot0,17052,05times10^-4 approx 8,1times10^2 ):
Como , confirmamos que o escoamento é laminar e a hipótese inicial tá certa.

Resposta

O diâmetro necessário é aproximadamente boxedD approx 0,17;m

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