Os diâmetros das hastes AB e BC são 4mm e 6mm, respectivamente. Se a carga vertical de 8 kN for aplicada ao anel em B, determine o ângulo  da haste BC de modo que a tensão normal média em cada haste seja equivalente, ou seja AB = BC. Qual é essa tensão?.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolver. Temos duas hastes, AB e BC, com diâmetros de 4mm e 6mm respectivamente. Uma carga vertical de 8 kN está sendo aplicada no ponto B. A gente precisa encontrar o ângulo θ da haste BC de modo que a tensão normal média em cada haste seja igual, ou seja, σ_AB = σ_BC. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática, como equilíbrio de forças, e também entender como calcular a tensão normal nas hastes, que envolve a área da seção transversal delas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal de cada haste. As hastes são circulares, então a área A de uma haste é dada por:
A = pi d^24
Para a haste AB:
AAB = pi (4,mm)^24 = pi times 164 = 4pi,mm^2
Para a haste BC:
ABC = pi (6,mm)^24 = pi times 364 = 9pi,mm^2

Passo 3

Agora, vamos considerar as forças nas hastes AB e BC. Como a carga de 8 kN está sendo aplicada verticalmente no ponto B, precisamos resolver os componentes das forças nas hastes para que elas equilibrem essa carga. Vamos chamar as forças nas hastes de F_AB e F_BC.
Como queremos que as tensões sejam iguais (σ_AB = σ_BC), podemos escrever:
FABAAB = FBCABC
Substituindo as áreas que calculamos:
FAB4pi = FBC9pi
Simplificando π dos dois lados:
FAB4 = FBC9
Então:
FAB = 49 FBC

Passo 4

Vamos agora aplicar as condições de equilíbrio no ponto B. Como a carga é vertical, a soma das forças verticais deve ser zero, e a soma das forças horizontais também deve ser zero.
Vamos decompor as forças F_AB e F_BC em componentes horizontais e verticais. Supondo que a haste AB forma um ângulo α com a horizontal e a haste BC forma um ângulo θ com a horizontal.
As componentes das forças são:
Para F_AB:
  • Horizontal: F_AB \cos α
  • Vertical: F_AB \sin α
Para F_BC:
  • Horizontal: F_BC \cos θ
  • Vertical: F_BC \sin θ
Como não temos informações sobre α, podemos assumir que a haste AB está na horizontal para simplificar (α = 0°), assim:
  • F_AB \cos 0° = F_AB
  • F_AB \sin 0° = 0
Então, as equações de equilíbrio ficam:
Somatório das forças horizontais:
FAB = FBC cos θ
Somatório das forças verticais:
FBC sin θ = 8,kN

Passo 5

Vamos substituir F_AB pela relação que encontramos anteriormente (F_AB = (4/9) F_BC) na equação das forças horizontais:
49 FBC = FBC cos θ
Dividindo ambos os lados por F_BC (assumindo F_BC ≠ 0):
49 = cos θ
Agora, podemos encontrar o ângulo θ:
θ = cos^-1 ( 49 )
Calculando:
θ ≈ cos^-1(0,4444) ≈ 63,26°

Passo 6

Agora que temos θ, vamos encontrar a tensão σ. Usando a relação de equilíbrio vertical:
FBC sin θ = 8,kN
Substituindo θ ≈ 63,26°:
FBC sin 63,26° = 8,kN
Calculando sin 63,26° ≈ 0,8944:
FBC times 0,8944 = 8,kN
Então:
FBC = 80,8944 ≈ 8,947,kN
Agora, calculamos a tensão σ_BC:
σBC = FBCABC = 8,947,kN9pi,mm^2
Convertendo kN para N (1 kN = 1000 N):
σBC = 8947,N28,274,mm^2 ≈ 316,MPa

Resposta

O ângulo θ da haste BC é aproximadamente 63,26° e a tensão normal média em cada haste é 316 MPa.

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