Os diâmetros das hastes AB e BC são 4mm e 6mm, respectivamente. Se a carga vertical de 8 kN for aplicada ao anel em B, determine o ângulo da haste BC de modo que a tensão normal média em cada haste seja equivalente, ou seja AB = BC. Qual é essa tensão?.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolver. Temos duas hastes, AB e BC, com diâmetros de 4mm e 6mm respectivamente. Uma carga vertical de 8 kN está sendo aplicada no ponto B. A gente precisa encontrar o ângulo θ da haste BC de modo que a tensão normal média em cada haste seja igual, ou seja, σ_AB = σ_BC. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática, como equilíbrio de forças, e também entender como calcular a tensão normal nas hastes, que envolve a área da seção transversal delas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal de cada haste. As hastes são circulares, então a área A de uma haste é dada por:
Para a haste AB:
Para a haste BC:
Passo 3
Agora, vamos considerar as forças nas hastes AB e BC. Como a carga de 8 kN está sendo aplicada verticalmente no ponto B, precisamos resolver os componentes das forças nas hastes para que elas equilibrem essa carga. Vamos chamar as forças nas hastes de F_AB e F_BC.
Como queremos que as tensões sejam iguais (σ_AB = σ_BC), podemos escrever:
Substituindo as áreas que calculamos:
Simplificando π dos dois lados:
Então:
Passo 4
Vamos agora aplicar as condições de equilíbrio no ponto B. Como a carga é vertical, a soma das forças verticais deve ser zero, e a soma das forças horizontais também deve ser zero.
Vamos decompor as forças F_AB e F_BC em componentes horizontais e verticais. Supondo que a haste AB forma um ângulo α com a horizontal e a haste BC forma um ângulo θ com a horizontal.
As componentes das forças são:
Para F_AB:
- Horizontal: F_AB \cos α
- Vertical: F_AB \sin α
Para F_BC:
- Horizontal: F_BC \cos θ
- Vertical: F_BC \sin θ
Como não temos informações sobre α, podemos assumir que a haste AB está na horizontal para simplificar (α = 0°), assim:
- F_AB \cos 0° = F_AB
- F_AB \sin 0° = 0
Então, as equações de equilíbrio ficam:
Somatório das forças horizontais:
Somatório das forças verticais:
Passo 5
Vamos substituir F_AB pela relação que encontramos anteriormente (F_AB = (4/9) F_BC) na equação das forças horizontais:
Dividindo ambos os lados por F_BC (assumindo F_BC ≠ 0):
Agora, podemos encontrar o ângulo θ:
Calculando:
Passo 6
Agora que temos θ, vamos encontrar a tensão σ. Usando a relação de equilíbrio vertical:
Substituindo θ ≈ 63,26°:
Calculando sin 63,26° ≈ 0,8944:
Então:
Agora, calculamos a tensão σ_BC:
Convertendo kN para N (1 kN = 1000 N):
Resposta
O ângulo θ da haste BC é aproximadamente 63,26° e a tensão normal média em cada haste é 316 MPa.