A primeira escala graduada de temperatura foi criada pelo astrônomo dinamarquês Ole Christensen Roemer em 1701. Sua escala, conhecida como Roemer, foi originalmente definida a partir dos seguintes pontos de referência (sempre ao nível do mar): ponto de fusão da água e ponto de ebulição da água correspondem, respectivamente, a
e
, onde
significa “grau Roemer”. O modo de interpolação é linear. Calcule a lei de transformação entre as escalas:
Fahrenheit e Roemer.
Fahrenheit e Roemer.
Passo 1
O enunciado pede a lei de transformação entre as escalas Fahrenheit e Roemer. Dados fornecidos (sempre ao nível do mar):
Sabemos também, pelos pontos de referência da escala Fahrenheit, que:
O enunciado diz que o modo de interpolação é linear. A tarefa é encontrar a fórmula que converte entre as duas escalas (ambas as direções).
Passo 2
Vamos modelar a transformação por uma função afim (linear com termo constante). Denotando por
uma temperatura em graus Roemer e por
a mesma temperatura em graus Fahrenheit, adotamos o modelo
onde
e
são constantes reais a determinar. Explicando: uma função afim tem duas constantes — a inclinação
que escala a variação e o deslocamento
que ajusta o ponto zero. Para determinar
e
usamos os dois pares de pontos dados (fus/ebi).
Passo 3
Usando os dois pontos correspondentes, escrevemos duas equações substituindo os pares
:
para o ponto de fusão:
para o ponto de fusão:
para o ponto de ebulição:
Essas duas equações formam um sistema linear em
e
.
Passo 4
Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar
e achar
:
Calculando os termos:
Logo
Simplificando:
, então
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Passo 5
Agora vamos achar
. Substituímos
em uma das equações (uso a de fusão, mais simples):
Escrevemos
para facilitar:
Portanto
Escrevendo
e isolando
:
Passo 6
Temos, então, a lei direta de transformação:
Vamos checar rapidamente com os pontos dados para garantir que bate: para
,
ok. Para
,
ok.
Passo 7
Agora a fórmula inversa (converter de Fahrenheit para Roemer) obtém-se isolando
em
Subtraindo
e dividindo por
temos
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Essa é a lei inversa, em forma simples.