A primeira escala graduada de temperatura foi criada pelo astrônomo dinamarquês Ole Christensen Roemer em 1701. Sua escala, conhecida como Roemer, foi originalmente definida a partir dos seguintes pontos de referência (sempre ao nível do mar): ponto de fusão da água e ponto de ebulição da água correspondem, respectivamente, a 7,5^{\circ} R \varphi e 60^{\circ} R \varphi, onde { }^{\circ} R \varphi significa “grau Roemer”. O modo de interpolação é linear. Calcule a lei de transformação entre as escalas:
Fahrenheit e Roemer.

Passo 1

O enunciado pede a lei de transformação entre as escalas Fahrenheit e Roemer. Dados fornecidos (sempre ao nível do mar):
\text{ponto de fusão da água} = 7{,}5^{\circ}R\varphiãá
\text{ponto de ebulição da água} = 60^{\circ}R\varphiçãá
Sabemos também, pelos pontos de referência da escala Fahrenheit, que:
\text{ponto de fusão da água} = 32^{\circ}Fãá
\text{ponto de ebulição da água} = 212^{\circ}Fçãá
O enunciado diz que o modo de interpolação é linear. A tarefa é encontrar a fórmula que converte entre as duas escalas (ambas as direções).

Passo 2

Vamos modelar a transformação por uma função afim (linear com termo constante). Denotando por T_{R\varphi} uma temperatura em graus Roemer e por T_F a mesma temperatura em graus Fahrenheit, adotamos o modelo
T_F = a\,T_{R\varphi} + b,
onde a e b são constantes reais a determinar. Explicando: uma função afim tem duas constantes — a inclinação a que escala a variação e o deslocamento b que ajusta o ponto zero. Para determinar a e b usamos os dois pares de pontos dados (fus/ebi).

Passo 3

Usando os dois pontos correspondentes, escrevemos duas equações substituindo os pares (T_{R\varphi},T_F):
para o ponto de fusão:
32 = a\cdot 7{,}5 + b,
para o ponto de ebulição:
212 = a\cdot 60 + b.
Essas duas equações formam um sistema linear em a e b.

Passo 4

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar b e achar a:
212-32 = a(60-7{,}5).
Calculando os termos:
180 = a\cdot 52{,}5.
Logo
a = \frac{180}{52{,}5}.
Simplificando: 52{,}5=\dfrac{105}{2}, então
a = \frac{180}{52{,}5} = \frac{180}{105/2} = \frac{180\cdot 2}{105} = \frac{360}{105}.
Dividindo numerador e denominador por 15 obtemos
a = \frac{24}{7}.

Passo 5

Agora vamos achar b. Substituímos a=\dfrac{24}{7} em uma das equações (uso a de fusão, mais simples):
32 = \frac{24}{7}\cdot 7{,}5 + b.
Escrevemos 7{,}5=\dfrac{15}{2} para facilitar:
\frac{24}{7}\cdot \frac{15}{2} = \frac{24\cdot 15}{14} = \frac{360}{14} = \frac{180}{7}.
Portanto
32 = \frac{180}{7} + b.
Escrevendo 32=\dfrac{224}{7} e isolando b:
b = \frac{224}{7} - \frac{180}{7} = \frac{44}{7}.

Passo 6

Temos, então, a lei direta de transformação:
T_F = \frac{24}{7}\,T_{R\varphi} + \frac{44}{7}.
Vamos checar rapidamente com os pontos dados para garantir que bate: para T_{R\varphi}=7{,}5,
T_F = \frac{24}{7}\cdot 7{,}5 + \frac{44}{7} = \frac{180}{7} + \frac{44}{7} = \frac{224}{7} = 32,
ok. Para T_{R\varphi}=60,
T_F = \frac{24}{7}\cdot 60 + \frac{44}{7} = \frac{1440}{7} + \frac{44}{7} = \frac{1484}{7} = 212,
ok.

Passo 7

Agora a fórmula inversa (converter de Fahrenheit para Roemer) obtém-se isolando T_{R\varphi} em
T_F = \frac{24}{7}\,T_{R\varphi} + \frac{44}{7}.
Subtraindo \dfrac{44}{7} e dividindo por \dfrac{24}{7} temos
T_{R\varphi} = \frac{T_F - \dfrac{44}{7}}{\dfrac{24}{7}}.
Multiplicando numerador e denominador por 7 para simplificar:
T_{R\varphi} = \frac{7T_F - 44}{24}.
Essa é a lei inversa, em forma simples.

Resposta

T_F = \dfrac{24}{7}\,T_{R\varphi} + \dfrac{44}{7}\n
T_{R\varphi} = \dfrac{7T_F - 44}{24}

Exercícios relacionados