A regra do produto nos diz que: sejam f(x) e g(x) funções deriváveis em x0, então, o produto delas r(x)=f(x) * g(x) também é derivável em x0 e a derivada satisfaz a fórmula r^prime(x)=f^prime(x) * g(x)+f(x) * g^prime(x). Sejam as funções f(x)=x^2- 5 x e g(x)=-x^3+x-7, assinale a alternativa que contenha a derivada de r(x) :
Alternativas
r^prime(x)=-5 x^4+20 x^3+3 x^2-24 x+35
r^prime(x)=-5 x^4+16 x^3+3 x^2-16 x+2
r^prime(x)=-x^4+12 x^3-x+8
r^prime(x)=-x^4-x^3+3 x^2-2 x+4
r^prime(x)=-2 x^4+3 x^3+4 x^2+5 x-1

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos duas funções deriváveis, e . Queremos encontrar a derivada do produto dessas funções, . Para isso, vamos usar a Regra do Produto, que nos permite calcular a derivada de um produto de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f'(x) = 2x - 5 . A função é .
A derivada de é . Assim:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de g'(x) = -3x^2 + 1 . A função é .
Aplicando a mesma regra:

Passo 4

Aplicamos a Regra do Produto, que diz:
r'(x) = f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x)
Substituindo as funções que já encontramos:
r'(x) = (2x - 5)(-x^3 + x - 7) + (x^2 - 5x)(-3x^2 + 1)

Passo 5

Vamos multiplicar os termos:
Primeiro, multiplicando (2x - 5)(-x^3 + x - 7) = 2x(-x^3) + 2x(x) + 2x(-7) - 5(-x^3) - 5(x) - 5(-7) por = -2x^4 + 2x^2 - 14x + 5x^3 - 5x + 35 :
(x^2 - 5x)(-3x^2 + 1) = x^2(-3x^2) + x^2(1) - 5x(-3x^2) - 5x(1)
= -3x^4 + x^2 + 15x^3 - 5x
Segundo, multiplicando por :

Passo 6

Agora, somamos os resultados das multiplicações:
(-2x^4 + 2x^2 - 14x + 5x^3 - 5x + 35) + (-3x^4 + x^2 + 15x^3 - 5x)
= (-2x^4 - 3x^4) + (5x^3 + 15x^3) + (2x^2 + x^2) + (-14x - 5x - 5x) + 35
= -5x^4 + 20x^3 + 3x^2 - 24x + 35

Resposta

A derivada de r^prime(x) = -5x^4 + 20x^3 + 3x^2 - 24x + 35 é:

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