Dietilenoglicol escoa com uma vazão mássica de 0,01 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} através de um tubo de parede delgada diâmetro interno de 3 mm .O tubo,disposto na forma de uma serpentina,encontra-se totalmente subme em um banho de água agitada,mantido à temperatura constante de 25^{\circ} \mathrm{C} .O fluido entra no tubo a 85^{\circ} deve ser resfriado até 35^{\circ} \mathrm{C} na saída.
Despreze a intensificação da transferência de calor associada à forma em serpentina e considere propriedades constantes.Determine:
a)A taxa de transferência de calor necessária para esse resfriamento;
b)O comprimento do tubo necessário para atingir essa condição.
Dados para dietilenoglicol: \operatorname{Pr}=51,3 ; \mu=0,522 \times 10^{-2} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ; \mathrm{k}=0,260 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=2562 \mathrm{~J} / \mathrm{KgK}

Passo 1

O enunciado trata de dietilenoglicol escoando em regime permanente por um tubo de parede delgada de diâmetro interno de \,D=3{,}0\text{ mm}, com vazão mássica \dot m=0,01\text{ kg/s}. O fluido entra no tubo a T_{i}=85\\ ^\circ\mathrm C e sai a T_{o}=35\\ ^\circ\mathrm C, estando imerso num banho de água agitada mantido a T_{\infty}=25\\ ^\circ\mathrm C.
Conteúdo a usar: balanço de energia para obter a taxa de calor e correlações de convecção interna para tubos (número de Reynolds, número de Nusselt para escoamento laminar totalmente desenvolvido e método do LMTD para determinar o comprimento).

Passo 2

Balanço de energia no fluido dentro do tubo dá a taxa de transferência de calor necessária:
\dot Q \;=\;\dot m\,c_{p}\,(T_{i}-T_{o})
Substituindo \dot m=0,01\text{ kg/s}, c_{p}=2562\text{ J/(kg\cdotK)} e (T_{i}-T_{o})=85-35=50\text{ K},
\dot Q =0,01\times2562\times50=1281\text{ W}.

Passo 3

Para obter o coeficiente de convecção interna, calculamos o número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,V\,D}{\mu} \quad\text{com}\quad V=\frac{\dot m}{\rho\,A},\; A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Como \rho aparece em V e cancela em \mathrm{Re}, usa-se
\mathrm{Re}=\frac{\dot m\,D}{\mu\,A} =\frac{0,01\times0,003}{0,00522\times(\pi(0,003)^{2}/4)} \approx812,
indicando escoamento laminar \mathrm{Re}<2300.

Passo 4

Em escoamento laminar totalmente desenvolvido, para parede a temperatura constante, o número de Nusselt é
\mathrm{Nu}=3{,}66,
logo o coeficiente de convecção interna é
h_{i}=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D} =\frac{3{,}66\times0{,}260}{0{,}003} \approx318\;\text{W/(m}^{2}\text{\cdotK)}.
Verificação: o comprimento térmico de entrada \,L_{th}\approx0{,}05\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D\approx6{,}3\text{ m}, menor que o comprimento a determinar, o que justifica o uso de \mathrm{Nu}=3{,}66.

Passo 5

Usamos o método do LMTD (Logarithmic Mean Temperature Difference). As diferenças de temperatura na entrada e saída são
\Delta T_{1}=T_{i}-T_{\infty}=85-25=60\text{ K}, \quad \Delta T_{2}=T_{o}-T_{\infty}=35-25=10\text{ K},
\Delta T_{\text{lm}} =\frac{\Delta T_{1}-\Delta T_{2}}{\ln(\Delta T_{1}/\Delta T_{2})} =\frac{60-10}{\ln(60/10)} \approx27{,}9\text{ K}.

Passo 6

Desprezando a resistência externa (banho muito agitado), o coeficiente global U\approx h_{i}. Assim,
\dot Q =U\,A_{i}\,\Delta T_{\text{lm}} =h_{i}\,\bigl(\pi\,D\,L\bigr)\,\Delta T_{\text{lm}},
L =\frac{\dot Q}{h_{i}\,\pi\,D\,\Delta T_{\text{lm}}} =\frac{1281}{318\times\pi\times0,003\times27{,}9} \approx15{,}3\text{ m}.

Resposta

a) \displaystyle \dot Q\approx1{,}28\times10^{3}\text{ W}.
b) \displaystyle L\approx15{,}3\text{ m}.

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