4- Um reator em uma indústria trabalha a 500^{\circ} \mathrm{C} em um local onde a temperatura ambiente é 25^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película externo é 40 \mathrm{w} / \mathrm{m}^{2 *} \mathrm{k}. O reator foi construído de aço inox ( \varepsilon=0,06 ) com 2 m de diâmetro e 3 m de altura. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se aplicar uma camada de isolante ( \mathrm{k}=0,05 \mathrm{w} / \mathrm{m}^{*} \mathrm{k} e \varepsilon=0,65 ) para reduzir a transferência de calor a 10 \% da atual. Desconsiderando as resistências térmicas que não podem ser calculadas, pede-se:
a) O fluxo de calor antes da aplicação do isolamento.
b) A parcela transferida por convecção após o isolamento, desprezar a
variação da área externa devido ao acréscimo da espessura isolante.
c) A espessura do isolante a ser usada nas novas condições sabendo-se que a temperatura externa do isolamento deve ser 65^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Temos um reator cilíndrico de diâmetro D=2{,}0\\ \mathrm{m} e altura L=3{,}0\\ \mathrm{m}, operando à temperatura interna de 500\,^\circ\mathrm{C} num ambiente a 25\,^\circ\mathrm{C}. O coeficiente de película externo é h_{\mathrm{conv}}=40\\ \mathrm{W/m^2K} e a parede de aço inox tem emissividade \varepsilon_{\mathrm{aço}}=0{,}06ç.
Conteúdo: transferência de calor por convecção natura l+radiação (antes do isolamento) e condução radial em casca cilíndrica (após isolamento).

Passo 2

a) Calcular o fluxo de calor sem isolamento.
  1. Converter temperaturas para Kelvin:
T_s = 500\\ ^\circ\mathrm{C}=773\\ \mathrm{K},\qquad T_\infty = 25\\ ^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K}.
  1. Calcular o coeficiente de radiação linearizado:
h_{\mathrm{rad}} = \varepsilon_{\mathrm{aço}}\;\sigma\;(T_s + T_\infty)\;(T_s^2 + T_\infty^2),ç
onde \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2K^4}. Substituindo,
h_{\mathrm{rad}}\approx 0{,}06\cdot5{,}67\cdot10^{-8}\cdot(773+298)\cdot(773^2+298^2)\approx2{,}5\\ \mathrm{W/m^2K}.
  1. O coeficiente total é
h_{\mathrm{tot}}=h_{\mathrm{conv}}+h_{\mathrm{rad}}\approx40+2{,}5=42{,}5\\ \mathrm{W/m^2K}.
  1. Área lateral do cilindro (desprezando tampas):
A = \pi D L = \pi\cdot2{,}0\cdot3{,}0 = 6\pi\approx18{,}85\\ \mathrm{m^2}.
  1. Fluxo de calor total:
q = A\,h_{\mathrm{tot}}\,(T_s - T_\infty) \approx 18{,}85\cdot42{,}5\cdot(500-25) \approx3{,}81\times10^5\\ \mathrm{W}.

Passo 3

b) Após isolamento, deseja-se reduzir q a 10\% do original, logo
q_{\mathrm{novo}} = 0{,}1\,q \approx3{,}81\times10^4\\ \mathrm{W}.
Para saber a fração por convecção na superfície externa do isolante, usamos a temperatura externa dada em (c), T_e=65\,^\circ\mathrm{C}=338\\ \mathrm{K}.
  1. Coeficiente de radiação do isolante \varepsilon_{\mathrm{iso}}=0{,}65:
h_{\mathrm{rad,iso}} = \varepsilon_{\mathrm{iso}}\;\sigma\;(T_e+T_\infty)\;(T_e^2+T_\infty^2) \approx0{,}65\cdot5{,}67\cdot10^{-8}\cdot(338+298)\cdot(338^2+298^2) \approx4{,}77\\ \mathrm{W/m^2K}.
  1. Coeficiente total na superfície do isolante:
h_{\mathrm{tot,iso}} = h_{\mathrm{conv}} + h_{\mathrm{rad,iso}} \approx40 + 4{,}77 = 44{,}77\\ \mathrm{W/m^2K}.
  1. A fração de fluxo por convecção é
\frac{q_{\mathrm{conv}}}{q_{\mathrm{novo}}} = \frac{h_{\mathrm{conv}}}{h_{\mathrm{tot,iso}}} \approx \frac{40}{44{,}77}\approx0{,}894\quad\Rightarrow\\\ 89{,}4\%.

Passo 4

c) Determinar espessura \delta do isolante (condutividade k=0{,}05\\ \mathrm{W/mK}) para que a superfície externa fique em 65\,^\circ\mathrm{C} e o fluxo seja q_{\mathrm{novo}}.
Na condução radial em casca cilíndrica:
q_{\mathrm{novo}} = \frac{T_s - T_e}{R_{\mathrm{cond}}}, \quad R_{\mathrm{cond}} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L},
onde r_1=D/2=1{,}0\\ \mathrm{m} e r_2=r_1+\delta.
  1. Calcular R_{\mathrm{cond}}=(T_s-T_e)/q_{\mathrm{novo}} = (500-65)/3{,}81\times10^4\approx0{,}01143\\ \mathrm{K/W}.
  2. Logo
\ln\!\bigl(\tfrac{r_2}{r_1}\bigr) = R_{\mathrm{cond}}\;2\pi k L \approx0{,}01143\cdot2\pi\cdot0{,}05\cdot3 \approx0{,}01078,
de onde
\frac{r_2}{r_1} = e^{0{,}01078}\approx1{,}01084 \quad\Longrightarrow\quad \delta = r_1\,(e^{0{,}01078}-1)\approx0{,}0108\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) q\approx3{,}81\times10^5\\ \mathrm{W}.
b) A parcela por convecção é cerca de 89{,}4\%.
c) Espessura do isolante \delta\approx0{,}0108\\ \mathrm{m}.

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