Um líquido escoa por uma tubulação inclinada, ocupando a metade da área disponível. O perfil de velocidade é de é
onde
é a velocidade na superfície livre da película. R. Determine:
a) A vazão do líquido que escoa pela tubulação em função de
.
b) Sabendo que a vazão é
e o raio R de 10 cm , calcular o valor da
.
a) A vazão do líquido que escoa pela tubulação em função de
b) Sabendo que a vazão é
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e qual a matéria envolvida.
Enunciado resumido:
Temos um tubo circular de raio . O líquido ocupa metade da seção (ou seja, meia-lua) e tem perfil de velocidade parabólico
Enunciado resumido:
Temos um tubo circular de raio
a) Calcular a vazão
em função de
e
.
b) Se e
, achar
.
b) Se
Conteúdo: integração de campo de velocidades em coordenadas polares para achar vazão (fluxo volumétrico). Vamos precisar lembrar que
e que, em polares,
.
Passo 2
Definindo a vazão
Por definição de vazão volumétrica:
Por definição de vazão volumétrica:
Aqui a área
é meia-seção de círculo (ângulo de
de 0 a
, raio de
a
).
Passo 3
Escrevendo a integral em polares
Vamos usar
Vamos usar
Então
Passo 4
Fazendo a integral em
Primeiro extraímos e a parte de
:
Primeiro extraímos
Agora a integral em
:
Logo
E a integral em
dá
.
Passo 5
Expressão final de
Juntando tudo:
Juntando tudo:
Passo 6
Parte b: calcula
Passo 6.1: converte para
:
Passo 6.1: converte
Passo 6.2: isola
em
Substituindo
e
:
Resposta
a)
.
b) Para e
, vem
b) Para