Um líquido escoa por uma tubulação inclinada, ocupando a metade da área disponível. O perfil de velocidade é de é vx=vo(1-r^2R^2) onde vo é a velocidade na superfície livre da película. R. Determine:
a) A vazão do líquido que escoa pela tubulação em função de vo, R.
b) Sabendo que a vazão é 2,5 L / min e o raio R de 10 cm , calcular o valor da v0.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e qual a matéria envolvida.
Enunciado resumido:
Temos um tubo circular de raio vx(r) = v0l(1 - r^2R^2r) . O líquido ocupa metade da seção (ou seja, meia-lua) e tem perfil de velocidade parabólico
Q ;=; integral duplaA vx,dA
a) Calcular a vazão em função de e .
b) Se e , achar .
Conteúdo: integração de campo de velocidades em coordenadas polares para achar vazão (fluxo volumétrico). Vamos precisar lembrar que
e que, em polares, .

Passo 2

Definindo a vazão
Por definição de vazão volumétrica:
Q = integral duplaA vx(r),dA
Aqui a área é meia-seção de círculo (ângulo de de 0 a , raio de a ).

Passo 3

Escrevendo a integral em polares
Vamos usar
vx(r) = v0l(1 - r^2R^2r), dA = r,dr,dtheta, thetain[0,pi],;rin[0,R]
Então
Q = integraltheta=0^pi!integralr=0^R v0l(1 - tfracr^2R^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Fazendo a integral em Q = v0integral0^pidtheta ;integral0^Rl(r - r^3R^2r),dr
Primeiro extraímos integral0^R r,dr = R^22, integral0^R r^3,dr = R^44 e a parte de integral0^Rl(r - tfracr^3R^2r)dr = R^22 ;-;1R^2,R^44 = R^22 - R^24 = R^24 :
Agora a integral em :
Logo
E a integral em .

Passo 5

Expressão final de Q = v0 ,l(pir),R^24 = pi,R^24;v0
Juntando tudo:

Passo 6

Parte b: calcula Q = 2,5 rm L/min = 2,5times10^-3 rm m^3/60 rm s = 4,17times10^-5 rm m^3/s
Passo 6.1: converte Q = pi,R^24,v0 Longrightarrow v0 = 4,Qpi,R^2 para v0 = 4times4,17times10^-5pitimes(0,10)^2 approx 5,3times10^-3 rm m/s :
Passo 6.2: isola em
Substituindo e :

Resposta

a) v0 approx 5,3times10^-3 rm m/s .
b) Para e , vem

Exercícios relacionados