Exercício 0.17 Resolva as seguintes inequações, em \mathbb{R},
\tan x>\sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação em \mathbb{R}:
\tan x > \sqrt{3}.
Informações relevantes que o enunciado nos dá (e que vamos usar):
  • A inequação vale para todos os x\in\mathbb{R}.
  • O número à direita é \sqrt{3}.
  • Sabemos (ou vamos usar) valores trigonométricos especiais como \tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.
  • A função \tan x tem pontos onde não está definida (quando \cos x=0, isto é em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}) e tem comportamento periódico (período \pi).
    Não se resolve nada aqui ainda — apenas listei o que o problema pede e os dados que vamos precisar.

Passo 2

Mini-aula sobre propriedades da função \tan x que serão usadas (sem pular etapas):
  • Definição: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Assim \tan x não está definida quando \cos x=0.
  • Assíntotas verticais: \tan x tem assíntotas em x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},pois nesses pontos \cos x=0.
  • Período: \tan x é periódica de período \pi. Isso significa que \tan(x+\pi)=\tan x\quad\text{para todo }x.Assim, as soluções de uma inequação com \tan repetem-se de \pi em \pi.
  • Monotonicidade local: em cada intervalo aberto entre duas assíntotas consecutivas, \left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right),a função \tan x é contínua e estritamente crescente e tem imagem (-\infty,+\infty).
    Isso é crucial: sendo estritamente crescente em cada um desses intervalos, para resolver
    \tan x > a em tal intervalo basta encontrar o ponto único onde \tan x=a e tomar os x maiores que esse ponto (ou menores, dependendo de a).
  • Inverso na faixa principal: a função \arctan é a inversa de \tan restringida à faixa \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Em particular, \arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3},porque \tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)}=\dfrac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{3}.

Passo 3

Resolver a inequação primeiro no intervalo principal \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
  • Nesse intervalo \tan é estritamente crescente e atinge todos os valores reais. Portanto existe exatamente um ponto x_0\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) tal que \tan x_0=\sqrt{3}.
  • Como vimos, esse ponto é x_0=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}.
  • Como \tan é crescente nesse intervalo, a desigualdade \tan x>\sqrt{3} equivale a x>x_0=\frac{\pi}{3}quando restringimos x a \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
  • Além disso devemos respeitar a assíntota à direita: x<\dfrac{\pi}{2}. Logo, na faixa principal a solução é \left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right).Note que os extremos não entram: \pi/3 não entra porque a desigualdade é estrita; \pi/2 não entra porque \tan não está definida aí.

Passo 4

Extensão para toda \mathbb{R} usando periodicidade:
  • Como \tan(x+\pi)=\tan x, a mesma configuração de soluções se repete em cada intervalo \left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Em cada um desses intervalos há um único ponto onde \tan x=\sqrt{3}, que é x=\frac{\pi}{3}+k\pi.
  • Pelo mesmo argumento de monotonicidade, em cada intervalo a solução da inequação é \left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right).
  • Portanto, juntando todos os inteiros k, obtemos a solução completa em \mathbb{R}.

Passo 5

Resumo final com interpretação e exemplos rápidos para fixar:
  • A solução é a união, para todos os inteiros k, dos intervalos \left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right).
  • Exemplos de alguns intervalos (pegando k=0,1,-1):
    • Para k=0: \left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right).
    • Para k=1: \left(\dfrac{\pi}{3}+\pi,\dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=\left(\dfrac{4\pi}{3},\dfrac{3\pi}{2}\right).
    • Para k=-1: \left(\dfrac{\pi}{3}-\pi,\dfrac{\pi}{2}-\pi\right)=\left(-\dfrac{2\pi}{3},-\dfrac{\pi}{2}\right).
  • Lembrete prático para a prova: encontre a solução na faixa principal com arctan e depois some k\pi por causa da periodicidade; cuide para não incluir os pontos onde \tan não existe.

Resposta

\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right)

Exercícios relacionados