Exercício 0.17 Resolva as seguintes inequações, em
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação em
:
Informações relevantes que o enunciado nos dá (e que vamos usar):
- A inequação vale para todos os
. - O número à direita é
. - Sabemos (ou vamos usar) valores trigonométricos especiais como
. - A função
tem pontos onde não está definida (quando , isto é em , ) e tem comportamento periódico (período ).
Não se resolve nada aqui ainda — apenas listei o que o problema pede e os dados que vamos precisar.
Passo 2
Mini-aula sobre propriedades da função
que serão usadas (sem pular etapas):
- Definição:
. Assim não está definida quando . - Assíntotas verticais:
tem assíntotas em pois nesses pontos . - Período:
é periódica de período . Isso significa que Assim, as soluções de uma inequação com repetem-se de em . - Monotonicidade local: em cada intervalo aberto entre duas assíntotas consecutivas,
a função é contínua e estritamente crescente e tem imagem .
Isso é crucial: sendo estritamente crescente em cada um desses intervalos, para resolver
em tal intervalo basta encontrar o ponto único onde e tomar os maiores que esse ponto (ou menores, dependendo de ). - Inverso na faixa principal: a função
é a inversa de restringida à faixa . Em particular, porque
Passo 3
Resolver a inequação primeiro no intervalo principal
.
- Nesse intervalo
é estritamente crescente e atinge todos os valores reais. Portanto existe exatamente um ponto tal que . - Como vimos, esse ponto é
- Como
é crescente nesse intervalo, a desigualdade equivale a quando restringimos a . - Além disso devemos respeitar a assíntota à direita:
. Logo, na faixa principal a solução é Note que os extremos não entram: não entra porque a desigualdade é estrita; não entra porque não está definida aí.
Passo 4
Extensão para toda
usando periodicidade:
- Como
, a mesma configuração de soluções se repete em cada intervalo - Em cada um desses intervalos há um único ponto onde
, que é - Pelo mesmo argumento de monotonicidade, em cada intervalo a solução da inequação é
- Portanto, juntando todos os inteiros
, obtemos a solução completa em .
Passo 5
Resumo final com interpretação e exemplos rápidos para fixar:
- A solução é a união, para todos os inteiros
, dos intervalos - Exemplos de alguns intervalos (pegando
): - Para
: . - Para
: . - Para
: .
- Para
- Lembrete prático para a prova: encontre a solução na faixa principal com arctan e depois some
por causa da periodicidade; cuide para não incluir os pontos onde não existe.