O que seria o cálculo vetorial?

Passo 1

O enunciado pergunta “O que seria o cálculo vetorial?”. Esse conteúdo pertence à extensão do cálculo diferencial e integral para funções vetoriais e campos vetoriais em duas ou mais dimensões. Para responder, vamos precisar entender o que é um campo vetorial, quais são os principais operadores diferenciais ( \nabla) e as integrais que aparecem em linhas, superfícies e volumes.

Passo 2

Primeiro, definimos o que é um campo vetorial. Uma função vetorial em \mathbb{R}^n associa a cada ponto \mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n) um vetor \mathbf{F}(\mathbf{x}). Por exemplo, em \mathbb{R}^3 podemos ter
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(P(x,y,z),\,Q(x,y,z),\,R(x,y,z)\bigr).
Quando falamos de campo vetorial, normalmente pensamos em \mathbf{F} espalhando vetores pelo espaço, como um campo de velocidades de um fluido.

Passo 3

No cálculo vetorial aparecem três operadores diferenciais baseados em \nabla = \bigl(\partial_{x},\partial_{y},\partial_{z}\bigr):
\text{gradiente:}\quad \nabla f = \Bigl(\partial_x f,\partial_y f,\partial_z f\Bigr),
\text{divergência:}\quad \nabla\!\cdot\!\mathbf{F} = \partial_x P + \partial_y Q + \partial_z R,ê
\text{rotacional (curl):}\quad \nabla\!\times\!\mathbf{F} = \bigl(\partial_y R-\partial_z Q,\;\partial_z P-\partial_x R,\;\partial_x Q-\partial_y P\bigr).
Esses operadores medem, respectivamente, a variação máxima de um escalar, a “fuga” de um campo e a sua tendência a girar.

Passo 4

Além da parte diferencial, temos integrais em domínios vetoriais:
\text{Integral de linha:}\quad \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
\text{Integral de superfície:}\quad \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},í
\text{Integral de volume:}\quad \iiint_{V} f\,dV.
Elas permitem calcular trabalho de um campo ao longo de uma curva, fluxo através de uma superfície e acúmulo em um volume.

Passo 5

O cálculo vetorial é famoso pelos três teoremas que relacionam diferenciais e integrais:
\text{Teorema de Green (plano):}\quad \iint_{D} \biggl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\biggr)dA = \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy,
\text{Teorema de Stokes (superfície):}\quad \iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},í
\text{Teorema da Divergência (Gauss):}\quad \iiint_{V} (\nabla\!\cdot\!\mathbf{F})\,dV = \iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.ê
Esses resultados são o coração do cálculo vetorial, pois permitem trocar integrais de regiões por integrais ao longo de suas fronteiras.

Resposta

O cálculo vetorial é a parte do cálculo que estende as operações de derivada e integral para funções e campos vetoriais em dimensões maiores, usando operadores como gradiente, divergência e rotacional, e estabelecendo teoremas (Green, Stokes, Gauss) que relacionam integrais sobre domínios com integrais sobre suas fronteiras.

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