O que seria o cálculo vetorial?
Passo 1
O enunciado pergunta “O que seria o cálculo vetorial?”. Esse conteúdo pertence à extensão do cálculo diferencial e integral para funções vetoriais e campos vetoriais em duas ou mais dimensões. Para responder, vamos precisar entender o que é um campo vetorial, quais são os principais operadores diferenciais (
) e as integrais que aparecem em linhas, superfícies e volumes.
Passo 2
Primeiro, definimos o que é um campo vetorial. Uma função vetorial em
associa a cada ponto
um vetor
. Por exemplo, em
podemos ter
Quando falamos de campo vetorial, normalmente pensamos em
espalhando vetores pelo espaço, como um campo de velocidades de um fluido.
Passo 3
No cálculo vetorial aparecem três operadores diferenciais baseados em
:
Esses operadores medem, respectivamente, a variação máxima de um escalar, a “fuga” de um campo e a sua tendência a girar.
Passo 4
Além da parte diferencial, temos integrais em domínios vetoriais:
Elas permitem calcular trabalho de um campo ao longo de uma curva, fluxo através de uma superfície e acúmulo em um volume.
Passo 5
O cálculo vetorial é famoso pelos três teoremas que relacionam diferenciais e integrais:
Esses resultados são o coração do cálculo vetorial, pois permitem trocar integrais de regiões por integrais ao longo de suas fronteiras.
Resposta
O cálculo vetorial é a parte do cálculo que estende as operações de derivada e integral para funções e campos vetoriais em dimensões maiores, usando operadores como gradiente, divergência e rotacional, e estabelecendo teoremas (Green, Stokes, Gauss) que relacionam integrais sobre domínios com integrais sobre suas fronteiras.