Considere uma curva com focos em
F_{1}=(-5,0), \quad F_{2}=(5,0)
e a soma das distâncias a esses focos igual a 18 .
Determine:
(a) o tipo da cônica;
(b) a equação reduzida;
(c) sua forma padrão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Os focos são F_{1}=(-5,0) e F_{2}=(5,0).
    • A soma das distâncias de um ponto qualquer da curva a esses focos é 18. Ou seja, para um ponto (x,y) da curva vale \;d((x,y),F_1)+d((x,y),F_2)=18.
  • Perguntas:
    (a) Qual o tipo da cônica?
    (b) Qual a equação reduzida (a forma canônica em coordenadas centradas)?
    (c) Qual a sua forma padrão (representação usual — faço a forma paramétrica e listo vértices/foсos para ficar completo)?

Passo 2

Entender a definição útil e as quantidades principais (aula rápida e prática).
  • Definição (explicada): a curva formada pelos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é uma constante positiva é uma elipse, desde que essa constante seja maior que a distância entre os focos.
    • Nesta definição, se a soma for 2a, então a>0 é o semi-eixo maior da elipse.
  • Notação e relações importantes:
    • Se os focos estão no eixo x e o centro da elipse é a origem, então os focos têm coordenadas (\pm c,0) com c>0.
    • A distância entre os focos é 2c.
    • A soma das distâncias aos focos é 2a.
    • A relação entre a, b e c para elipse é \;b^{2}=a^{2}-c^{2}, onde b>0 é o semi-eixo menor.
  • Conclusão conceitual imediata: precisamos calcular c (a partir dos focos) e a (a partir da soma 18), depois obter b pela relação acima, e então escrever a equação padrão.

Passo 3

Calcular c a partir dos focos.
  • A distância entre os focos é 2c. Usando as coordenadas F_{1}=(-5,0), F_{2}=(5,0), 2c = \text{distância entre }F_1\text{ e }F_2 = \sqrt{(5-(-5))^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{10^{2}}=10.âPortanto c=5.

Passo 4

Calcular a a partir da soma das distâncias.
  • Pelo enunciado a soma das distâncias é 18. Na notação da elipse essa soma é 2a. Logo 2a=18 \quad\Rightarrow\quad a=9.

Passo 5

Calcular b usando a relação entre a, b e c.
  • A relação é \;b^{2}=a^{2}-c^{2}. Substituindo os valores que encontramos: b^{2}=9^{2}-5^{2}=81-25=56.
  • Assim b=\sqrt{56}=2\sqrt{14}. (Mantém-se b>0.)

Passo 6

Escrever a equação reduzida (forma canônica centrada na origem, eixos alinhados).
  • Como os focos estão sobre o eixo x, a elipse tem eixo maior horizontal, e a equação reduzida é \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • Substituindo a^{2}=81 e b^{2}=56 obtemos \frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{56}=1.

Passo 7

Dar a forma padrão (representações úteis) e localizar vértices e focos.
  • Forma paramétrica padrão (útil para traçar a curva): \begin{cases} x = a\cos t = 9\cos t,\\[4pt] y = b\sin t = 2\sqrt{14}\,\sin t, \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi).
  • Vértices (extremos do eixo maior): (\pm a,0)=(\pm 9,0).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor): (0,\pm b)=\bigl(0,\pm 2\sqrt{14}\bigr).
  • Focos: confirmando F_{1}=(-c,0)=(-5,0) e F_{2}=(c,0)=(5,0), consistentes com o enunciado.]

Resposta

(a) Elipse.
(b) \displaystyle \frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{56}=1.
(c) Forma padrão paramétrica:
\begin{cases} x=9\cos t,\\[4pt] y=2\sqrt{14}\,\sin t, \end{cases}\quad t\in[0,2\pi).]

Exercícios relacionados