Considere uma curva com focos em
e a soma das distâncias a esses focos igual a 18 .
Determine:
(a) o tipo da cônica;
(b) a equação reduzida;
(c) sua forma padrão.
Determine:
(a) o tipo da cônica;
(b) a equação reduzida;
(c) sua forma padrão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Os focos são
e . - A soma das distâncias de um ponto qualquer da curva a esses focos é
. Ou seja, para um ponto da curva vale .
- Os focos são
-
Perguntas:
(a) Qual o tipo da cônica?
(b) Qual a equação reduzida (a forma canônica em coordenadas centradas)?
(c) Qual a sua forma padrão (representação usual — faço a forma paramétrica e listo vértices/foсos para ficar completo)?
Passo 2
Entender a definição útil e as quantidades principais (aula rápida e prática).
- Definição (explicada): a curva formada pelos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é uma constante positiva é uma elipse, desde que essa constante seja maior que a distância entre os focos.
- Nesta definição, se a soma for
, então é o semi-eixo maior da elipse.
- Nesta definição, se a soma for
- Notação e relações importantes:
- Se os focos estão no eixo
e o centro da elipse é a origem, então os focos têm coordenadas com . - A distância entre os focos é
. - A soma das distâncias aos focos é
. - A relação entre
, e para elipse é , onde é o semi-eixo menor.
- Se os focos estão no eixo
- Conclusão conceitual imediata: precisamos calcular
(a partir dos focos) e (a partir da soma ), depois obter pela relação acima, e então escrever a equação padrão.
Passo 3
Calcular
a partir dos focos.
- A distância entre os focos é
. Usando as coordenadas , , Portanto
Passo 4
Calcular
a partir da soma das distâncias.
- Pelo enunciado a soma das distâncias é
. Na notação da elipse essa soma é . Logo
Passo 5
Calcular
usando a relação entre
,
e
.
- A relação é
. Substituindo os valores que encontramos: - Assim
. (Mantém-se .)
Passo 6
Escrever a equação reduzida (forma canônica centrada na origem, eixos alinhados).
- Como os focos estão sobre o eixo
, a elipse tem eixo maior horizontal, e a equação reduzida é - Substituindo
e obtemos
Passo 7
Dar a forma padrão (representações úteis) e localizar vértices e focos.
- Forma paramétrica padrão (útil para traçar a curva):
- Vértices (extremos do eixo maior):
. - Co-vértices (extremos do eixo menor):
. - Focos: confirmando
e , consistentes com o enunciado.]
Resposta
(a) Elipse.
(b)
(c) Forma padrão paramétrica:
(b)
(c) Forma padrão paramétrica: