Considere a hipérbole:
\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1
Calcule:
(a) a, b e c;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1
e pede quatro coisas:
(a) os valores de a, b e c;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A equação está na forma canônica \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1.
  • Comparando com a forma canônica, podemos identificar a^{2} e b^{2} imediatamente.

Passo 2

Identificar a^{2} e b^{2} e calcular a e b.
Explicação do conceito usado: numa hipérbole centralizada na origem com a forma
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
o número a>0 é o semi-eixo real (meio do eixo transverso) ao longo de y, e b>0 é o semi-eixo conjugado ao longo de x. Esses a e b aparecem nas denominações a^{2} e b^{2} da equação.
Comparando a equação dada com \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 obtemos:
a^{2}=9,\qquad b^{2}=4.
Portanto:
a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{4}=2.

Passo 3

Calcular c (distância do centro aos focos) e explicar a fórmula.
Conceito/fórmula: para a hipérbole na forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 vale a relação padrão
c^{2}=a^{2}+b^{2},
ou seja, o quadrado da distância focal é a soma dos quadrados dos semi-eixos (note a diferença com a elipse, onde seria c^{2}=a^{2}-b^{2}).
Aplicando:
c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+4=13,
logo
c=\sqrt{13}.
(Se preferir aproximado: c\approx3{,}606, mas mantenha-se a forma exata \sqrt{13} para respostas em prova.)

Passo 4

Determinar os vértices e mostrar por que são esses pontos.
Conceito: para a forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 o eixo transverso é o eixo y. Os vértices ficam no centro deslocados por \pm a ao longo do eixo transverso; como o centro é a origem (0,0), os vértices são (0,a) e (0,-a).
Usando a=3, os vértices são:
(0,3)\quad\text{e}\quad(0,-3).
Verificação rápida: ao colocar x=0 na equação, obtemos y^{2}/9=1\Rightarrow y=\pm3, o que confirma os vértices.

Passo 5

Determinar os focos e explicar.
Conceito: os focos estão localizados ao longo do eixo transverso, a distância c do centro. Como o eixo transverso é o eixo y, os focos são (0,c) e (0,-c).
Usando c=\sqrt{13}, os focos são:
\bigl(0,\sqrt{13}\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(0,-\sqrt{13}\bigr).

Passo 6

Determinar as assíntotas e mostrar o raciocínio passo a passo.
Conceito: assíntotas de uma hipérbole centralizada na origem aproximam a curva quando |x| e |y| são grandes. Para a forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são as retas
y=\pm\frac{a}{b}\,x.
Justificativa curta: para grandes valores de x e y o termo 1 fica desprezível, então aproximadamente \dfrac{y^{2}}{a^{2}}\approx\dfrac{x^{2}}{b^{2}}, o que dá y^{2}\approx\dfrac{a^{2}}{b^{2}}x^{2} e assim y\approx\pm\dfrac{a}{b}x.
Aplicando a=3 e b=2, a razão é \dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}. Logo as assíntotas são:
y=\frac{3}{2}x\quad\text{e}\quad y=-\frac{3}{2}x.
Também é possível obter as assíntotas isolando y:
\frac{y^{2}}{9}=1+\frac{x^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad y=\pm 3\sqrt{1+\frac{x^{2}}{4}}.
Para |x| grande, \sqrt{1+\frac{x^{2}}{4}}\sim\frac{|x|}{2}, levando novamente a y\sim\pm\frac{3}{2}x.

Passo 7

Resumo final (você pode usar isto para colar direto na prova).
  • a=3, b=2, c=\sqrt{13}.
  • Vértices: (0,3) e (0,-3).
  • Focos: \bigl(0,\sqrt{13}\bigr) e \bigl(0,-\sqrt{13}\bigr).
  • Assíntotas: y=\dfrac{3}{2}x e y=-\dfrac{3}{2}x.
Força aí — essa é a maneira padrão de ler e extrair todos os elementos de uma hipérbole na forma canônica. Dá pra decorar: identifique a^{2} e b^{2}, calcule c por c^{2}=a^{2}+b^{2}, e os vértices/focos/assíntotas saem direto.

Resposta

(a) a=3,\\ b=2,\\ c=\sqrt{13}
(b) Vértices: (0,3) e (0,-3)
(c) Focos: \bigl(0,\sqrt{13}\bigr) e \bigl(0,-\sqrt{13}\bigr)
(d) Assíntotas: y=\dfrac{3}{2}x e y=-\dfrac{3}{2}x

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