Considere a hipérbole:
Calcule:
(a)
e
;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.
(a)
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede quatro coisas:
(a) os valores de ,
e
;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.
(a) os valores de
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A equação está na forma canônica
. - Comparando com a forma canônica, podemos identificar
e imediatamente.
Passo 2
Identificar
e
e calcular
e
.
Explicação do conceito usado: numa hipérbole centralizada na origem com a forma
o número
é o semi-eixo real (meio do eixo transverso) ao longo de
, e
é o semi-eixo conjugado ao longo de
. Esses
e
aparecem nas denominações
e
da equação.
Comparando a equação dada com
obtemos:
Portanto:
Passo 3
Calcular
(distância do centro aos focos) e explicar a fórmula.
Conceito/fórmula: para a hipérbole na forma
vale a relação padrão
ou seja, o quadrado da distância focal é a soma dos quadrados dos semi-eixos (note a diferença com a elipse, onde seria
).
Aplicando:
logo
(Se preferir aproximado:
, mas mantenha-se a forma exata
para respostas em prova.)
Passo 4
Determinar os vértices e mostrar por que são esses pontos.
Conceito: para a forma
o eixo transverso é o eixo
. Os vértices ficam no centro deslocados por
ao longo do eixo transverso; como o centro é a origem
, os vértices são
e
.
Usando
, os vértices são:
Verificação rápida: ao colocar
na equação, obtemos
, o que confirma os vértices.
Passo 5
Determinar os focos e explicar.
Conceito: os focos estão localizados ao longo do eixo transverso, a distância
do centro. Como o eixo transverso é o eixo
, os focos são
e
.
Usando
, os focos são:
Passo 6
Determinar as assíntotas e mostrar o raciocínio passo a passo.
Conceito: assíntotas de uma hipérbole centralizada na origem aproximam a curva quando
e
são grandes. Para a forma
as assíntotas são as retas
Justificativa curta: para grandes valores de
e
o termo
fica desprezível, então aproximadamente
, o que dá
e assim
.
Aplicando
e
, a razão é
. Logo as assíntotas são:
Também é possível obter as assíntotas isolando
:
Para
grande,
, levando novamente a
.
Passo 7
Resumo final (você pode usar isto para colar direto na prova).
-
, , . - Vértices:
e . - Focos:
e . - Assíntotas:
e .
Força aí — essa é a maneira padrão de ler e extrair todos os elementos de uma hipérbole na forma canônica. Dá pra decorar: identifique
e
, calcule
por
, e os vértices/focos/assíntotas saem direto.
Resposta
(a)
(b) Vértices: e
(c) Focos: e
(d) Assíntotas: e
(b) Vértices:
(c) Focos:
(d) Assíntotas: