Que diferença de fase entre duas ondas iguais, a não ser pela constante de fase, que se propagam no mesmo sentido em corda esticada, produz uma onda resultante de amplitude 1,5 vez a amplitude comum das duas ondas? Expresse a resposta em radianos.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro dizer o que o enunciado pede. A gente tem duas ondas idênticas (mesma amplitude e frequência) que viajam juntas numa corda. Elas só diferem por uma “constante de fase” (ou seja, uma diferença de fase phi). Queremos saber qual é essa phi para que, quando elas se somam, a onda resultante tenha amplitude igual a 1,5 vezes a amplitude comum A delas.
Conteúdo da matéria: interferência de ondas (adição de senos).
O que precisamos: a fórmula que dá a amplitude resultante quando duas ondas de mesma amplitude e frequência, mas com diferença de fase, se somam.

Passo 2

Teoria básica (sem pular etapa):
  1. Cada onda pode ser escrita como y1 = Asin(kx - omega t) y2 = Asin(kx - omega t + phi),
    2) Para somar, usamos a identidade trigonométrica
    sinalpha + sinbeta = 2sin!l(alpha+beta2r)cos!l(alpha-beta2r), Aqui, alpha = kx - omega t e beta = kx - omega t + phi.
  2. Fazendo alpha+beta = 2(kx-omega t) + phi e alpha-beta = -phi, a soma vira y1 + y2 = 2A,sin!l(kx - omega t + tfracphi2r)cos!l(tfracphi2r),
    Ou seja, a onda resultante tem amplitude
    R = 2Al|cos(tfracphi2)r|,

Passo 3

Agora, a condição do problema: R = 1,5,A.
Então
2Al|cos(tfracphi2)r| = 1,5,A,
Como Aneq 0, simplifica para
$$2\bigl|\cos(\tfrac{\phi}{2})\bigr| = 1{,}5
\quad\Longrightarrow\quad
\bigl|\cos(\tfrac{\phi}{2})\bigr| = 0{,}75,. 2l|cos(tfracphi2)r| = 1,5 Longrightarrow l|cos(tfracphi2)r| = 0,75, í\frac{\phi}{2} = \arccos(0{,}75)\quad\Longrightarrow\quad
\phi = 2,\arccos(0{,}75),. $$

Passo 4

Só falta dar valor aproximado. Sabendo que
arccos(0,75)approx 0,7227 rad,
temos
phi approx 2 times 0,7227 = 1,4454 rad,

Resposta

A diferença de fase que gera amplitude resultante 1,5,A é
phi = 2,arccosl(0,75r)approx 1,445 rad

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