Que diferença de fase existe entre duas ondas idênticas (a não ser pela constante de fase) que se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada, e produzem uma onda resultante de amplitude que é 10 \% da amplitude original? Expresse o resultado em radianos e em graus.
Passo 1
O enunciado dá duas ondas idênticas (mesma amplitude, mesma frequência e mesmo sentido de propagação) que diferem apenas por uma constante de fase. A amplitude de cada onda é \;A\;. A onda resultante tem amplitude igual a 10\% da amplitude original, ou seja \;R=0{,}1\,A\;. A pergunta é: qual é a diferença de fase \varphi entre as duas ondas? Deve-se dar o resultado em radianos e em graus. Informações relevantes:
\text{Dado:}\quad R=0{,}1\,A,\qquad \text{cada onda tem amplitude }A.
Passo 2
Vamos escrever as duas ondas (no mesmo ponto x e no mesmo instante t para simplificar a soma das fases que interessam) como
A amplitude (módulo) da onda resultante é, portanto,
R = 2A\bigg|\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\bigg|.
Isto tem sentido físico: as duas amplitudes somam vetorialmente e o fator 2\cos(\varphi/2) define quanto sobra da soma (máxima para \varphi=0, cancelamento para \varphi=\pi, etc).
Passo 4
Agora impomos a condição do enunciado R=0{,}1\,A. Substituindo:
Ou seja \cos\!\big(\frac{\varphi}{2}\big)=\pm 0{,}05. Vamos resolver para \varphi no intervalo [0,2\pi) (os valores equivalentes módulo 2\pi representam a mesma diferença de fase física).
Passo 5
Resolvendo \cos\!\big(\frac{\varphi}{2}\big)=0{,}05 dá
A outra solução vem de \cos\!\big(\frac{\varphi}{2}\big)=-0{,}05. Uma forma simples de escrever a solução no intervalo [0,2\pi) é usar a simetria em torno de \pi: se \phi_1 é uma solução, então a outra solução que dá o mesmo valor absoluto do cosseno é
Ambas as respostas são fisicamente válidas porque o valor da amplitude resultante depende de \big|\cos(\varphi/2)\big|, daí a simetria em torno de \pi.
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o fato de a amplitude resultante ser apenas 10\% da original significa que as ondas estão quase em oposição de fase (\varphi perto de \pi rad = 180^\circ), faltando apenas um pequeno desalinhamento que deixa um pequeno resto de amplitude. Você já entendeu a ideia — ótimo trabalho por chegar até aqui!