Que diferença de fase existe entre duas ondas idênticas (a não ser pela constante de fase) que se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada, e produzem uma onda resultante de amplitude que é 10 \% da amplitude original? Expresse o resultado em radianos e em graus.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas idênticas (mesma amplitude, mesma frequência e mesmo sentido de propagação) que diferem apenas por uma constante de fase. A amplitude de cada onda é \;A\;. A onda resultante tem amplitude igual a 10\% da amplitude original, ou seja \;R=0{,}1\,A\;. A pergunta é: qual é a diferença de fase \varphi entre as duas ondas? Deve-se dar o resultado em radianos e em graus. Informações relevantes:
\text{Dado:}\quad R=0{,}1\,A,\qquad \text{cada onda tem amplitude }A.

Passo 2

Vamos escrever as duas ondas (no mesmo ponto x e no mesmo instante t para simplificar a soma das fases que interessam) como
y_1 = A\cos(\theta),\qquad y_2 = A\cos(\theta+\varphi),
onde \theta é abreviação de (kx-\omega t) e \varphi é a diferença de fase entre as ondas. Para somar duas cossenos usamos a identidade trigonométrica
\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\!\bigg(\frac{\alpha+\beta}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{\alpha-\beta}{2}\bigg).
Aplicando essa identidade com \alpha=\theta e \beta=\theta+\varphi obtemos a forma da onda resultante.

Passo 3

Aplicando a identidade ao somatório:
y_1+y_2 = A\cos(\theta)+A\cos(\theta+\varphi)=2A\cos\!\bigg(\theta+\frac{\varphi}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg).
A amplitude (módulo) da onda resultante é, portanto,
R = 2A\bigg|\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\bigg|.
Isto tem sentido físico: as duas amplitudes somam vetorialmente e o fator 2\cos(\varphi/2) define quanto sobra da soma (máxima para \varphi=0, cancelamento para \varphi=\pi, etc).

Passo 4

Agora impomos a condição do enunciado R=0{,}1\,A. Substituindo:
2A\bigg|\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\bigg|=0{,}1\,A.
Cancelando A dos dois lados e isolando o cosseno:
\bigg|\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\bigg|=0{,}05.
Ou seja \cos\!\big(\frac{\varphi}{2}\big)=\pm 0{,}05. Vamos resolver para \varphi no intervalo [0,2\pi) (os valores equivalentes módulo 2\pi representam a mesma diferença de fase física).

Passo 5

Resolvendo \cos\!\big(\frac{\varphi}{2}\big)=0{,}05
\frac{\varphi}{2}=\operatorname{arccos}(0{,}05)\quad\Rightarrow\quad \varphi=2\operatorname{arccos}(0{,}05).
Numericamente:
\operatorname{arccos}(0{,}05)\approx 1{,}520773\\ \text{rad},
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\phi_1 = 2\cdot 1{,}520773\approx 3{,}041546\\ \text{rad}.
Convertendo para graus (fator 180^\circ/\pi):
\phi_1\approx 3{,}041546\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 174{,}26^\circ.

Passo 6

A outra solução vem de \cos\!\big(\frac{\varphi}{2}\big)=-0{,}05. Uma forma simples de escrever a solução no intervalo [0,2\pi) é usar a simetria em torno de \pi: se \phi_1 é uma solução, então a outra solução que dá o mesmo valor absoluto do cosseno é
\phi_2 = 2\pi - \phi_1.
Calculando:
\phi_2 \approx 2\pi - 3{,}041546 \approx 3{,}241639\\ \text{rad},
ou em graus
\phi_2\approx 360^\circ - 174{,}26^\circ = 185{,}74^\circ.
Ambas as respostas são fisicamente válidas porque o valor da amplitude resultante depende de \big|\cos(\varphi/2)\big|, daí a simetria em torno de \pi.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o fato de a amplitude resultante ser apenas 10\% da original significa que as ondas estão quase em oposição de fase ( \varphi perto de \pi rad = 180^\circ), faltando apenas um pequeno desalinhamento que deixa um pequeno resto de amplitude. Você já entendeu a ideia — ótimo trabalho por chegar até aqui!

Resposta

\varphi \approx 3{,}041546\\ \text{rad} \quad(\approx 174{,}26^\circ)\n \varphi \approx 3{,}241639\\ \text{rad} \quad(\approx 185{,}74^\circ)

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