A velocidade de uma onda transversal em uma corda é 150 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando a tensão da corda é 120 N . Qual deve ser o valor da tensão para que a velocidade da onda aumente para 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade de uma onda transversal em uma corda para uma certa tensão e pede a tensão necessária para atingir outra velocidade. Dados e pedido listados claramente:
  • Dado: tensão inicial \,T_1 = 120\\ \mathrm{N}.
  • Dado: velocidade inicial \,v_1 = 150\\ \mathrm{m/s}.
  • Dado: velocidade desejada \,v_2 = 200\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedir: tensão necessária \,T_2 para que a velocidade seja \,v_2.

Passo 2

Fórmula fundamental e o que cada símbolo significa:
A velocidade de uma onda transversal numa corda tensa é dada por
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde
  • \,v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s}),
  • \,T é a tensão na corda (em \mathrm{N}),
  • \,\mu é a densidade linear de massa da corda (massa por comprimento, em \mathrm{kg/m}).
Explicação curta da fórmula (intuição): quanto maior a tensão \,T, mais rápido se propagam as pequenas perturbações; quanto maior a massa por unidade de comprimento \,\mu, mais lenta é a propagação. A relação matemática vem da equação de ondas para uma corda vibrante, mas aqui vamos usá-la diretamente.

Passo 3

Isolar \,\mu usando os dados iniciais para descobrir a densidade linear (não precisamos conhecê-la separadamente, mas assim fica didático):
Da fórmula
v_1 = \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}
temos, elevando ao quadrado,
v_1^2 = \frac{T_1}{\mu}.
Logo
\mu = \frac{T_1}{v_1^2}.
Substituindo os valores iniciais:
\mu = \frac{120}{150^2}\\ \mathrm{kg/m}.
Calcule passo a passo:
150^2 = 22500,
então
\mu = \frac{120}{22500} = \frac{120}{22500}\\ \mathrm{kg/m}.
Podemos simplificar depois, mas não precisamos do valor decimal imediato se usarmos razão entre tensões.

Passo 4

Agora usamos a mesma fórmula para a nova velocidade \,v_2:
v_2 = \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}.
Elevando ao quadrado:
v_2^2 = \frac{T_2}{\mu},
portanto
T_2 = \mu\, v_2^2.
Substituindo \,\mu que foi obtida em \,T_1/v_1^2,
T_2 = \left(\frac{T_1}{v_1^2}\right) v_2^2 = T_1 \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2.
Esse é um truque útil: para a mesma corda (mesma \,\mu), a tensão varia com o quadrado da velocidade.

Passo 5

Agora aplicamos numericamente:
T_2 = 120 \left(\frac{200}{150}\right)^2\\ \mathrm{N}.
Calcule a razão:
\frac{200}{150}=\frac{4}{3}.
Então
\left(\frac{200}{150}\right)^2=\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}.
Portanto
T_2 = 120 \cdot \frac{16}{9}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Fazer a multiplicação e simplificação:
120 \cdot \frac{16}{9} = \frac{120}{9}\cdot 16 = \frac{40}{3}\cdot 16 = \frac{640}{3}\\ \mathrm{N}.
Como número decimal (usando vírgula conforme notação portuguesa):
\frac{640}{3}\approx 213,33\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Verificação rápida por ordem de grandeza e interpretação: a velocidade aumentou de \,150 para \,200, ou seja, multiplicou por \,4/3. Como a tensão deve seguir o quadrado desse fator, a tensão aumenta por um fator \,(4/3)^2=16/9\approx 1,78. Logo a tensão passa de \,120\\ \mathrm{N} para cerca de \,1,78\times 120\approx 213{,}3\\ \mathrm{N}, o que é consistente com o cálculo exato acima. Boa! Conseguiste seguir.

Resposta

\displaystyle \frac{640}{3}\\ \mathrm{N}
\approx 213,33\\ \mathrm{N}

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