A velocidade de uma onda transversal em uma corda é
quando a tensão da corda é 120 N . Qual deve ser o valor da tensão para que a velocidade da onda aumente para
?
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade de uma onda transversal em uma corda para uma certa tensão e pede a tensão necessária para atingir outra velocidade. Dados e pedido listados claramente:
- Dado: tensão inicial
. - Dado: velocidade inicial
. - Dado: velocidade desejada
. - Pedir: tensão necessária
para que a velocidade seja .
Passo 2
Fórmula fundamental e o que cada símbolo significa:
A velocidade de uma onda transversal numa corda tensa é dada por
A velocidade de uma onda transversal numa corda tensa é dada por
onde
-
é a velocidade da onda (em ), -
é a tensão na corda (em ), -
é a densidade linear de massa da corda (massa por comprimento, em ).
Explicação curta da fórmula (intuição): quanto maior a tensão
, mais rápido se propagam as pequenas perturbações; quanto maior a massa por unidade de comprimento
, mais lenta é a propagação. A relação matemática vem da equação de ondas para uma corda vibrante, mas aqui vamos usá-la diretamente.
Passo 3
Isolar
usando os dados iniciais para descobrir a densidade linear (não precisamos conhecê-la separadamente, mas assim fica didático):
Da fórmula
Da fórmula
temos, elevando ao quadrado,
Logo
Substituindo os valores iniciais:
Calcule passo a passo:
então
Podemos simplificar depois, mas não precisamos do valor decimal imediato se usarmos razão entre tensões.
Passo 4
Agora usamos a mesma fórmula para a nova velocidade
:
Elevando ao quadrado:
portanto
Substituindo
que foi obtida em
,
Esse é um truque útil: para a mesma corda (mesma
), a tensão varia com o quadrado da velocidade.
Passo 5
Agora aplicamos numericamente:
Calcule a razão:
Então
Portanto
Passo 6
Fazer a multiplicação e simplificação:
Como número decimal (usando vírgula conforme notação portuguesa):
Passo 7
Verificação rápida por ordem de grandeza e interpretação: a velocidade aumentou de
para
, ou seja, multiplicou por
. Como a tensão deve seguir o quadrado desse fator, a tensão aumenta por um fator
. Logo a tensão passa de
para cerca de
, o que é consistente com o cálculo exato acima. Boa! Conseguiste seguir.