Uma onda senoidal se propaga em uma corda. O tempo necessário para que um ponto da corda se desloque do deslocamento máximo até zero é 0,38 \mathrm{~s}, e o comprimento de onda é 76 cm . Qual é a velocidade de propagação da onda?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só: encontrar a velocidade de propagação da onda.
Dados:
  • O tempo que um ponto da corda leva para ir do deslocamento máximo até zero é 0,38\\ \mathrm{s}.
  • O comprimento de onda é 76\\ \mathrm{cm}.
Pedido:
  • Determinar a velocidade de propagação da onda (ou seja, v).

Passo 2

Entender o que significa “do deslocamento máximo até zero” no tempo: numa oscilação senoidal temporal em um ponto fixo da corda a variação é do tipo
y(t)=A\sin(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude, \omega é a pulsação (velocidade angular) e \varphi é a fase inicial. O valor máximo de y ocorre quando o argumento da seno é \pi/2 (ou seja, \sin(\pi/2)=1). Um zero da função seno ocorre quando o argumento é 0 (ou \pi, etc.). Portanto, o salto de “máximo” até “zero” corresponde a uma variação de fase de \Delta\theta=\pi/2.
Como a relação entre fase e tempo é \theta=\omega t, temos
\Delta\theta=\omega\,\Delta t.
Como \omega=2\pi/T (onde T é o período), substituindo obtemos
\frac{\pi}{2}=\omega\,\Delta t=\frac{2\pi}{T}\,\Delta t.
Dessa igualdade segue que
\Delta t=\frac{T}{4}.
Ou seja: o tempo do máximo até o zero é um quarto do período.

Passo 3

Usando a relação do passo anterior, como o enunciado dá \Delta t=0,38\\ \mathrm{s}, obtemos o período T como
T=4\,\Delta t = 4\times 0,38\\ \mathrm{s}=1,52\\ \mathrm{s}.

Passo 4

A frequência f (número de oscilações por segundo) é o inverso do período:
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{1,52\\ \mathrm{s}}\approx 0,6579\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando razoavelmente, f\approx 0,658\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Converter o comprimento de onda para unidades do SI: 76\\ \mathrm{cm} corresponde a
\lambda=76\\ \mathrm{cm}=0,76\\ \mathrm{m}.

Passo 6

A velocidade de propagação v de uma onda é dada pela relação fundamental
v=\lambda f,
onde \lambda é o comprimento de onda e f é a frequência. Substituindo os valores:
v=0,76\\ \mathrm{m}\times 0,657894\\ \mathrm{Hz}.
Uma forma prática de multiplicar é notar que 0,657894\times 76=50 (porque 0,657894\approx 50/76), então dividindo por 100 obtemos
v=0,50\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Checagem rápida de unidades: \lambda em metros vezes f em hertz ( \mathrm{s}^{-1}) dá metros por segundo, que é a unidade correta para velocidade. Tudo consistente.

Resposta

0,50\\ \mathrm{m/s}

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