Qual é a diferença entre oscilações, vibrações e ondas? Em termos da descrição matemática e do tipo de massa considerada.
Passo 1
O enunciado pergunta qual a diferença física e matemática entre oscilações, vibrações e ondas, em particular que tipo de massa é usada em cada caso e qual a equação que as descreve. O conteúdo aqui envolve equações de movimento de sistemas com um grau de liberdade (oscilador), vários graus de liberdade (vibrações discretas) e sistemas contínuos (ondas), usando ODEs escalares, ODEs matriciais e PDEs, respectivamente.
Passo 2
Uma oscilação é o movimento periódico de um sistema com apenas um grau de liberdade e massa concentrada em um ponto. A equação clássica de um oscilador linear sem amortecimento é a ODE escalar
onde
é a massa pontual e
a constante elástica. A solução típica é
com
.
Passo 3
Uma vibração discreta envolve vários graus de liberdade com massas pontuais ligadas por molas ou elementos rígidos. O sistema inteiro é descrito por uma ODE matricial
onde
é a matriz de massas (diagonal com massas pontuais) e
a matriz de rigidez. Cada modo próprio satisfaz
e a resposta geral é combinação linear dos autovetores
.
Passo 4
Uma onda é uma perturbação que se propaga em um meio contínuo, com massa distribuída ao longo do espaço (densidade
). A equação unidimensional típica é a PDE de onda
onde
é o deslocamento e
uma rigidez ou tensão de superfície. Esta é uma PDE de segunda ordem em
e
, e admite soluções da forma
com
.
Passo 5
Em resumo, em termos matemáticos e de massa:\n
– Oscilação: ODE escalar, massa pontual . \n
– Vibração: ODE matricial, massas pontuais discretas em cada nó ( diagonal). \n
– Onda: PDE, massa contínua com densidade .
– Oscilação: ODE escalar, massa pontual
– Vibração: ODE matricial, massas pontuais discretas em cada nó (
– Onda: PDE, massa contínua com densidade
Resposta
Oscilações são movimentos periódicos de um ponto-massa descritos por uma ODE escalar; vibrações são movimentos simultâneos de várias massas pontuais ligados por molas, modelados por uma ODE matricial;\ne ondas são perturbações em meios contínuos com massa distribuída, governadas por uma PDE de segunda ordem.