Qual é a diferença entre oscilações, vibrações e ondas? Em termos da descrição matemática e do tipo de massa considerada.

Passo 1

O enunciado pergunta qual a diferença física e matemática entre oscilações, vibrações e ondas, em particular que tipo de massa é usada em cada caso e qual a equação que as descreve. O conteúdo aqui envolve equações de movimento de sistemas com um grau de liberdade (oscilador), vários graus de liberdade (vibrações discretas) e sistemas contínuos (ondas), usando ODEs escalares, ODEs matriciais e PDEs, respectivamente.

Passo 2

Uma oscilação é o movimento periódico de um sistema com apenas um grau de liberdade e massa concentrada em um ponto. A equação clássica de um oscilador linear sem amortecimento é a ODE escalar
m,d^2 xdt^2 + k,x = 0
onde ,m é a massa pontual e k a constante elástica. A solução típica é x(t)=Acos(omega t+phi) com omega=raizk/m.

Passo 3

Uma vibração discreta envolve vários graus de liberdade com massas pontuais ligadas por molas ou elementos rígidos. O sistema inteiro é descrito por uma ODE matricial
M,d^2 udt^2 + K,u = 0
onde M é a matriz de massas (diagonal com massas pontuais) e K a matriz de rigidez. Cada modo próprio satisfaz
l(K - omega^2 Mr)phi = 0,
e a resposta geral é combinação linear dos autovetores phii.

Passo 4

Uma onda é uma perturbação que se propaga em um meio contínuo, com massa distribuída ao longo do espaço (densidade rho). A equação unidimensional típica é a PDE de onda
rho,partial^2 upartial t^2 = T,partial^2 upartial x^2
onde u(x,t) é o deslocamento e T uma rigidez ou tensão de superfície. Esta é uma PDE de segunda ordem em x e t, e admite soluções da forma u(x,t)=f(xpm c,t) com c=raizT/rho.

Passo 5

Em resumo, em termos matemáticos e de massa:\n
– Oscilação: ODE escalar, massa pontual m. \n
– Vibração: ODE matricial, massas pontuais discretas em cada nó ( M diagonal). \n
– Onda: PDE, massa contínua com densidade rho.

Resposta

Oscilações são movimentos periódicos de um ponto-massa descritos por uma ODE escalar; vibrações são movimentos simultâneos de várias massas pontuais ligados por molas, modelados por uma ODE matricial;\ne ondas são perturbações em meios contínuos com massa distribuída, governadas por uma PDE de segunda ordem.

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