Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
com condição inicial
, sendo
e
constantes positivas. Utilize a transformada de Laplace.
Além da solução analítica:
(a) Faça um gráfico de
para diferentes valores de
, mantendo
e
fixos.
(b) Interprete fisicamente o comportamento da solução.
(a) Faça um gráfico de
(b) Interprete fisicamente o comportamento da solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
com condição inicial
, usando a transformada de Laplace. O conteúdo aqui é aplicação da transformada de Laplace a derivadas e inversão da transformada para obter a solução no domínio do tempo.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que
onde
. Também usamos
.
Passo 3
Transformando a EDO obtemos
Isolando
:
Passo 4
Invertemos a transformada de Laplace termo a termo:
Logo a solução no tempo é
Passo 5
(a) O gráfico de
é uma reta de intercepto
e inclinação
. Para valores fixos de
e
, se escolhemos, por exemplo,
, teremos três retas:
A reta mais inclinada (queda mais rápida) corresponde ao menor
, e a queda fica mais suave à medida que
aumenta.
Passo 6
(b) Fisicamente, esta EDO representa uma grandeza
sujeita a um “forçamento” constante
equilibrado por um parâmetro
. Por exemplo, se
fosse a velocidade de um objeto e
uma força de atrito constante, teríamos uma desaceleração uniforme
e velocidade decaindo linearmente. Quanto maior
(massa ou inércia), mais lenta é a variação de
; quanto menor
, mais rápido
cai.
Resposta
A solução analítica é
(a) O gráfico são retas com intercepto
e inclinação
. Para valores de
crescentes a inclinação em valor absoluto diminui, fazendo a queda de
ficar mais suave.
(b) Fisicamente, atua como inércia ou resistência à variação de
sob um forçamento constante
, produzindo uma variação linear no tempo: quanto maior
, menor a taxa de variação de
.
(b) Fisicamente,