Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
a dd t x(t)+c=0
com condição inicial x(0)=x0, sendo a e c constantes positivas. Utilize a transformada de Laplace.
Além da solução analítica:
(a) Faça um gráfico de x(t) para diferentes valores de a, mantendo c e x0 fixos.
(b) Interprete fisicamente o comportamento da solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
a,dd tx(t)+c=0
com condição inicial x(0)=x0, usando a transformada de Laplace. O conteúdo aqui é aplicação da transformada de Laplace a derivadas e inversão da transformada para obter a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que
Ltfracddtx(t)(s)=sX(s)-x0,
onde X(s)=Lx(t)(s). Também usamos Lc(s)=c/s.

Passo 3

Transformando a EDO obtemos
al(sX(s)-x0r)+cs=0
Isolando X(s):
a,s,X(s)=a,x0-cs,
X(s)=a,x0a,s-ca,s^2 =x0s-ca,s^2

Passo 4

Invertemos a transformada de Laplace termo a termo:
L^-1tfracx0s(t)=x0, L^-1tfrac1s^2(t)=t
Logo a solução no tempo é
x(t)=x0-ca,t

Passo 5

(a) O gráfico de x(t)=x0-tfraccat é uma reta de intercepto x0 e inclinação -tfracca. Para valores fixos de c e x0, se escolhemos, por exemplo, a1<a2<a3, teremos três retas:
x1(t)=x0-ca1,t, x2(t)=x0-ca2,t, x3(t)=x0-ca3,t
A reta mais inclinada (queda mais rápida) corresponde ao menor a, e a queda fica mais suave à medida que a aumenta.

Passo 6

(b) Fisicamente, esta EDO representa uma grandeza x(t) sujeita a um “forçamento” constante -c equilibrado por um parâmetro a. Por exemplo, se x fosse a velocidade de um objeto e c uma força de atrito constante, teríamos uma desaceleração uniforme ddot x=0 e velocidade decaindo linearmente. Quanto maior a (massa ou inércia), mais lenta é a variação de x; quanto menor a, mais rápido x cai.

Resposta

A solução analítica é
x(t)=x0-ca,t
(a) O gráfico são retas com intercepto x0 e inclinação -c/a. Para valores de a crescentes a inclinação em valor absoluto diminui, fazendo a queda de x(t) ficar mais suave.
(b) Fisicamente, a atua como inércia ou resistência à variação de x sob um forçamento constante -c, produzindo uma variação linear no tempo: quanto maior a, menor a taxa de variação de x.

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