(Sears 38.17) Raios X com comprimentos de onda de 0,0665 nm se espalha a partir de um elétron inicialmente em repouso. Qual deverá ser o ângulo entre a direção de propagação dos fótons incidentes e espalhado se a velocidade do elétron imediatamente após a colisão é de 8,90 times 10^6 m / s ?

Passo 1

O enunciado trata do espalhamento Compton de raios X por um elétron inicialmente em repouso. Sabemos que a mudança de comprimento de onda do fóton obedecerá à fórmula de Compton e que a energia perdida pelo fóton vira energia cinética do elétron. Vamos usar conservação de energia para encontrar o comprimento de onda espalhado e depois a relação de Compton para achar o ângulo de espalhamento.

Passo 2

Pela conservação de energia:
Ei - Ef = Ke,
onde Ei e Ef são as energias do fóton antes e depois da colisão e
Ke = tfrac12,me,v^2
é a energia cinética do elétron com massa me e velocidade v.

Passo 3

Escrevendo Ei = dfrach clambdai e Ef = dfrach clambdaf, temos
h clambdai - h clambdaf = tfrac12,me,v^2 Longrightarrow h clambdaf = h clambdai - tfrac12,me,v^2
Longrightarrow lambdaf = h cdfrach clambdai - tfrac12,me,v^2
Numericamente, com lambdai=0,0665 nm=6,65times10^-11 m, me=9,11times10^-31 kg, v=8,90times10^6 m/s, h=6,626times10^-34 Jcdots e c=3,00times10^8 m/s, obtemos
Ei=6,626times10^-34cdot3,00times10^86,65times10^-11 approx2,98times10^-15 J,
Ke=tfrac12cdot9,11times10^-31cdot(8,90times10^6)^2 approx3,61times10^-17 J,
Ef=Ei-Keapprox2,98times10^-15-3,61times10^-17 =2,94times10^-15 J,
lambdaf=1,986times10^-252,94times10^-15 approx6,74times10^-11 m

Passo 4

O deslocamento de comprimento de onda é
De<alambda=lambdaf-lambdai approx(6,74-6,65)times10^-11 =9,0times10^-13 m

Passo 5

Pela fórmula de Compton,
De<alambda =hme c,l(1-costhetar),
onde lambdaC=dfrachme capprox2,43times10^-12 m. Logo
1-costheta=De<alambdalambdaC approx9,0times10^-132,43times10^-12 approx0,37 Longrightarrow costhetaapprox0,63 Longrightarrow thetaapprox50^circ

Resposta

O ângulo entre as direções do fóton incidente e do fóton espalhado é aproximadamente 50^circ.

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