Uma diferença de potencial De<a V é aplicada a um fio de área de seção transversal A, de comprimento L e de resistividade rho. Deseja-se mudar a diferença de potencial aplicada e alongar o fio de tal forma que a potência dissipada cresce de um fator de 30 e a corrente cresce de um fator de 4 . Quais seriam os novos valores do (a) comprimento e (b) da área de seção transversal? ( 2,0 pontos)

Passo 1

Nós temos um fio de resistividade rho, comprimento L e área de seção transversal A, ligado a uma diferença de potencial De<a V. Inicialmente a corrente é
I=De<a VR=A,De<a Vrho,L
e a potência dissipada é
P=I,De<a V=A,De<a V^2rho,L,
Ao esticar o mesmo fio, assume-se que o volume se conserva, ou seja
A,L = A',L',
Queremos ajustar o novo comprimento L', a nova área A' e a nova tensão De<a V' de forma que
I'I=4 e P'P=30,

Passo 2

Em termos gerais, a nova resistência é
R'=rho,L'A',,
a nova corrente
I'=De<a V'R'=A',De<a V'rho,L'
e a nova potência
P'=De<a V'^2R'=A',De<a V'^2rho,L',

Passo 3

Escrevendo as razões pedidas e usando a conservação de volume:
I'I =A'A,LL',De<a V'De<a V =4 , P'P =A'A,LL',De<a V'^2De<a V^2 =30
e
A,L = A',L'LongrightarrowA'A=LL'

Passo 4

Defina
x=LL' , y=De<a V'De<a V
Então as duas razões ficam
x^2,y = 4 , x^2,y^2 = 30
Dividindo a segunda pela primeira dá
y = 304 = 7,5,
e substituindo em x^2y=4 resulta
x^2 = 47,5 = 815 Longrightarrow x = raiz815

Passo 5

Voltemos a L' e A':
L'=Lx = Lraiz158 = raiz304,L,
A'=A,x = Araiz815 = 4raiz30,A

Resposta

L'=dfracraiz304,L
A'=dfrac4raiz30,A

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