Qual é a diferença entre sen
e
? Expresse cada uma das três funções em forma de composição.
12. Expresse as seguintes funções em termos de
e
(a)
12. Expresse as seguintes funções em termos de
(a)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos duas partes:
- Comparar e expressar as funções , e em forma de composição.
- Expressar a função em termos de e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as funções trigonométricas e a composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as diferenças entre , e .
- significa que primeiro calculamos
e depois aplicamos a função seno. Ou seja, é . - significa que primeiro aplicamos a função seno em
e depois elevamos o resultado ao quadrado. Ou seja, é . - significa que aplicamos a função seno duas vezes: primeiro em
e depois no resultado desse seno. Ou seja, é a composição da função seno com ela mesma.
Passo 3
Agora, vamos expressar cada uma dessas funções em forma de composição:
-
: Aqui, temos uma composição onde a função externa é o seno e a função interna é
. Então, podemos escrever como: -
: Nesta função, elevamos o resultado do seno ao quadrado. Portanto, a função interna é o seno e a função externa é a elevação ao quadrado. Assim:
-
: Aqui, aplicamos o seno duas vezes. A primeira aplicação é em
e a segunda é no resultado dessa primeira. Logo:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: expressar em termos de e
.
Sabemos que a tangente de um ângulo
é definida como a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo. Ou seja:
Resposta
-
As funções expressas em forma de composição são:
- , onde
-
A função em termos de e
é: