Qual é a diferença entre sen x^2, sen^2 x e sen(sen x) ? Expresse cada uma das três funções em forma de composição.
12. Expresse as seguintes funções em termos de sen theta e cos theta
(a) tg theta

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos duas partes:
  1. Comparar e expressar as funções , e em forma de composição.
  2. Expressar a função em termos de e sen x^2.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as funções trigonométricas e a composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as diferenças entre , e .
  • significa que primeiro calculamos sen x^2 e depois aplicamos a função seno. Ou seja, é .
  • significa que primeiro aplicamos a função seno em sen^2 x e depois elevamos o resultado ao quadrado. Ou seja, é .
  • significa que aplicamos a função seno duas vezes: primeiro em sen(sen x) e depois no resultado desse seno. Ou seja, é a composição da função seno com ela mesma.

Passo 3

Agora, vamos expressar cada uma dessas funções em forma de composição:
  1. : Aqui, temos uma composição onde a função externa é o seno e a função interna é sen x^2. Então, podemos escrever como:
  2. : Nesta função, elevamos o resultado do seno ao quadrado. Portanto, a função interna é o seno e a função externa é a elevação ao quadrado. Assim:
  3. : Aqui, aplicamos o seno duas vezes. A primeira aplicação é em x^2 e a segunda é no resultado dessa primeira. Logo:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: expressar em termos de e tg theta.
Sabemos que a tangente de um ângulo sen theta é definida como a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo. Ou seja:

Resposta

  1. As funções expressas em forma de composição são:
    • , onde sen x^2 = sen circ (x^2)
  2. A função em termos de e sen^2 x = (sen x)^2 = (g circ sen)(x) é:

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