A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é definida por A \triangle B:=(A-B) \cup (B-A). Nos itens abaixo \oplus representa união, intersecção, diferença ou diferença simétrica entre conjuntos ([L] p. 23 no. 10 e 11).
prove que (A \oplus B) \times C=(A \times C) \oplus(B \times C) (propriedade distributiva);

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
(A \oplus B)\times C = (A\times C)\oplus (B\times C)
quando \oplus é cada uma das quatro operações: união, interseção, diferença relativa e diferença simétrica. Temos três conjuntos dados: A, B e C.\n
Informações relevantes que foram dadas e que vamos usar explicitamente:
  • Definição do produto cartesiano: \;X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,\;y\in Y\}.
  • Definições das operações entre conjuntos:
    • União: \;X\cup Y=\{z\mid z\in X\text{ ou }z\in Y\}.
    • Interseção: \;X\cap Y=\{z\mid z\in X\text{ e }z\in Y\}.
    • Diferença relativa: \;X\setminus Y=\{z\mid z\in X\text{ e }z\notin Y\}.
    • Diferença simétrica: \;X\triangle Y=(X\setminus Y)\cup (Y\setminus X).\n
      A resolução será feita mostrando, para cada operação \oplus, a dupla inclusão (ou deduzindo de inclusões já provadas) por meio de provas por elemento.

Passo 2

Caso \oplus seja a união, isto é, provar
(A\cup B)\times C = (A\times C)\cup (B\times C).
Prova da inclusão \subseteq. Pegue um elemento qualquer (x,y)\in (A\cup B)\times C. Pela definição do produto cartesiano, isso significa que x\in A\cup B e y\in C. Pela definição da união, x\in A ou x\in B. Se x\in A então (x,y)\in A\times C; se x\in B então (x,y)\in B\times C. Em ambos os casos (x,y)\in (A\times C)\cup (B\times C). Logo
(A\cup B)\times C \subseteq (A\times C)\cup (B\times C).
Prova da inclusão \supseteq. Pegue (x,y)\in (A\times C)\cup (B\times C). Então (x,y)\in A\times C ou (x,y)\in B\times C. No primeiro caso x\in A e y\in C, no segundo x\in B e y\in C. Em ambos, x\in A\cup B e y\in C, logo (x,y)\in (A\cup B)\times C. Portanto
(A\times C)\cup (B\times C) \subseteq (A\cup B)\times C.
Com as duas inclusões obtemos a igualdade desejada.

Passo 3

Caso \oplus seja a interseção, isto é, provar
(A\cap B)\times C = (A\times C)\cap (B\times C).
Prova da inclusão \subseteq. Pegue (x,y)\in (A\cap B)\times C. Então x\in A\cap B e y\in C. Pela definição de interseção, x\in A e x\in B. Assim (x,y)\in A\times C e (x,y)\in B\times C, portanto (x,y)\in (A\times C)\cap (B\times C). Logo
(A\cap B)\times C \subseteq (A\times C)\cap (B\times C).
Prova da inclusão \supseteq. Pegue (x,y)\in (A\times C)\cap (B\times C). Isso significa que (x,y)\in A\times C e (x,y)\in B\times C. Então x\in A, y\in C, x\in B e y\in C; em particular x\in A\cap B e y\in C, logo (x,y)\in (A\cap B)\times C. Portanto
(A\times C)\cap (B\times C) \subseteq (A\cap B)\times C.
Com as duas inclusões obtemos a igualdade.

Passo 4

Caso \oplus seja a diferença relativa, isto é, provar
(A\setminus B)\times C = (A\times C)\setminus (B\times C).
Prova da inclusão \subseteq. Pegue (x,y)\in (A\setminus B)\times C. Então x\in A\setminus B e y\in C. Pela definição de diferença, x\in A e x\notin B. Assim (x,y)\in A\times C. Para que (x,y) estivesse em B\times C seria necessário x\in B e y\in C; mas x\notin B, logo (x,y)\notin B\times C. Portanto (x,y)\in (A\times C)\setminus (B\times C). Assim
(A\setminus B)\times C \subseteq (A\times C)\setminus (B\times C).
Prova da inclusão \supseteq. Pegue (x,y)\in (A\times C)\setminus (B\times C). Então (x,y)\in A\times C e (x,y)\notin B\times C. Da primeira parte vem x\in A e y\in C. O fato de (x,y)\notin B\times C significa que não é verdade que x\in B e y\in C. Como já sabemos y\in C, a negação força x\notin B. Logo x\in A e x\notin B, ou seja x\in A\setminus B; como também y\in C, concluímos (x,y)\in (A\setminus B)\times C. Portanto
(A\times C)\setminus (B\times C) \subseteq (A\setminus B)\times C.
Com as duas inclusões temos a igualdade.

Passo 5

Caso \oplus seja a diferença simétrica, isto é, provar
(A\triangle B)\times C = (A\times C)\triangle (B\times C).
Lembre que por definição
A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).
Usamos a distributividade da produto cartesiano sobre união (Passo 2) e a igualdade para diferença relativa (Passo 4). Compute o produto cartesiano do lado esquerdo:
(A\triangle B)\times C = \big((A\setminus B)\cup (B\setminus A)\big)\times C.
Pelo resultado do Passo 2 (produto distribui sobre união),
\big((A\setminus B)\cup (B\setminus A)\big)\times C = (A\setminus B)\times C \;\cup\; (B\setminus A)\times C.
Pelo resultado do Passo 4 cada produto de diferença é a diferença dos produtos:
(A\setminus B)\times C = (A\times C)\setminus (B\times C),
(B\setminus A)\times C = (B\times C)\setminus (A\times C).
Substituindo,
(A\triangle B)\times C = \big((A\times C)\setminus (B\times C)\big)\cup \big((B\times C)\setminus (A\times C)\big).
Mas o lado direito é exatamente a definição de diferença simétrica entre A\times C e B\times C, isto é,
(A\times C)\triangle (B\times C).
Portanto a igualdade desejada vale também para a diferença simétrica.

Passo 6

Resumo e observação prática: mostramos todas as quatro identidades provando inclusões por elemento (dois lados) ou reduzindo ao caso da união e diferença já provados. A estratégia padrão que usamos nas três primeiras provas é sempre a mesma: pegar um elemento genérico em um lado, traduzir com a definição de produto cartesiano e da operação entre conjuntos e deduzir que o elemento pertence ao outro lado; depois repetir no sentido contrário. Para a diferença simétrica usamos a definição como união de diferenças e reaproveitamos os resultados anteriores.\n
Se quiser, posso montar um exemplo numérico com conjuntos finitos para você ver os pares do produto explícitos e checar as igualdades de forma concreta — isso costuma fixar bem a ideia.

Resposta

(A\cup B)\times C = (A\times C)\cup (B\times C)\n
(A\cap B)\times C = (A\times C)\cap (B\times C)\n
(A\setminus B)\times C = (A\times C)\setminus (B\times C)\n
(A\triangle B)\times C = (A\times C)\triangle (B\times C)

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