A diferença simétrica entre dois conjuntos
e
é definida por
. Nos itens abaixo
representa união, intersecção, diferença ou diferença simétrica entre conjuntos ([L] p. 23 no. 10 e 11).
prove que
(propriedade distributiva);
prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
quando
é cada uma das quatro operações: união, interseção, diferença relativa e diferença simétrica. Temos três conjuntos dados:
,
e
.\n
Informações relevantes que foram dadas e que vamos usar explicitamente:
Informações relevantes que foram dadas e que vamos usar explicitamente:
- Definição do produto cartesiano:
- Definições das operações entre conjuntos:
- União:
- Interseção:
- Diferença relativa:
- Diferença simétrica:
\n
A resolução será feita mostrando, para cada operação, a dupla inclusão (ou deduzindo de inclusões já provadas) por meio de provas por elemento.
- União:
Passo 2
Caso
seja a união, isto é, provar
Prova da inclusão
. Pegue um elemento qualquer
. Pela definição do produto cartesiano, isso significa que
e
. Pela definição da união,
ou
. Se
então
; se
então
. Em ambos os casos
. Logo
Prova da inclusão
. Pegue
. Então
ou
. No primeiro caso
e
, no segundo
e
. Em ambos,
e
, logo
. Portanto
Com as duas inclusões obtemos a igualdade desejada.
Passo 3
Caso
seja a interseção, isto é, provar
Prova da inclusão
. Pegue
. Então
e
. Pela definição de interseção,
e
. Assim
e
, portanto
. Logo
Prova da inclusão
. Pegue
. Isso significa que
e
. Então
,
,
e
; em particular
e
, logo
. Portanto
Com as duas inclusões obtemos a igualdade.
Passo 4
Caso
seja a diferença relativa, isto é, provar
Prova da inclusão
. Pegue
. Então
e
. Pela definição de diferença,
e
. Assim
. Para que
estivesse em
seria necessário
e
; mas
, logo
. Portanto
. Assim
Prova da inclusão
. Pegue
. Então
e
. Da primeira parte vem
e
. O fato de
significa que não é verdade que
e
. Como já sabemos
, a negação força
. Logo
e
, ou seja
; como também
, concluímos
. Portanto
Com as duas inclusões temos a igualdade.
Passo 5
Caso
seja a diferença simétrica, isto é, provar
Lembre que por definição
Usamos a distributividade da produto cartesiano sobre união (Passo 2) e a igualdade para diferença relativa (Passo 4). Compute o produto cartesiano do lado esquerdo:
Pelo resultado do Passo 2 (produto distribui sobre união),
Pelo resultado do Passo 4 cada produto de diferença é a diferença dos produtos:
Substituindo,
Mas o lado direito é exatamente a definição de diferença simétrica entre
e
, isto é,
Portanto a igualdade desejada vale também para a diferença simétrica.
Passo 6
Resumo e observação prática: mostramos todas as quatro identidades provando inclusões por elemento (dois lados) ou reduzindo ao caso da união e diferença já provados. A estratégia padrão que usamos nas três primeiras provas é sempre a mesma: pegar um elemento genérico em um lado, traduzir com a definição de produto cartesiano e da operação entre conjuntos e deduzir que o elemento pertence ao outro lado; depois repetir no sentido contrário. Para a diferença simétrica usamos a definição como união de diferenças e reaproveitamos os resultados anteriores.\n
Se quiser, posso montar um exemplo numérico com conjuntos finitos para você ver os pares do produto explícitos e checar as igualdades de forma concreta — isso costuma fixar bem a ideia.
Se quiser, posso montar um exemplo numérico com conjuntos finitos para você ver os pares do produto explícitos e checar as igualdades de forma concreta — isso costuma fixar bem a ideia.