Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto X. Prove que:
Estas leis de distributividade e leis de Morgan podem ser generalizadas. Seja \left(A_{i}\right)_{i \in I} uma família de subconjuntos de X. Prove que: A \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)=\bigcap_{i \in I}\left(A_{i} \cup A\right);

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
A \cup\left(\bigcap_{i\in I} A_{i}\right)=\bigcap_{i\in I}\left(A_{i}\cup A\right).
Informações dadas: A é um subconjunto de X e \left(A_{i}\right)_{i\in I} é uma família (possivelmente infinita) de subconjuntos de X. Não há outras hipóteses ocultas; a missão é demonstrar que os dois conjuntos acima são iguais.

Passo 2

Vou lembrar a definição elementar de união e interseção, pois vamos usá‑las passo a passo.
  • Definição de união: x\in B\cup C se, e só se, x\in B ou x\in C.
  • Definição de interseção finita/generalizada: x\in \bigcap_{i\in I} B_{i} se, e só se, para todo i\in I vale x\in B_{i}. Escrevemos isso como \forall i\in I:\; x\in B_{i}.
Essas definições são o “manual” que usamos para comparar conjuntos mostrando inclusão por elemento.

Passo 3

Provar igualdade entre dois conjuntos costuma ser feito mostrando duas inclusões: primeiro \subseteq e depois \supseteq. Começo mostrando
A \cup\left(\bigcap_{i\in I} A_{i}\right)\subseteq \bigcap_{i\in I}\left(A_{i}\cup A\right).
Seja x um elemento arbitrário tal que
x\in A \cup\left(\bigcap_{i\in I} A_{i}\right).
Pelo significado da união, isso quer dizer que ou x\in A ou x\in \bigcap_{i\in I} A_{i}. Vou tratar as duas possibilidades.

Passo 4

Caso 1: x\in A. Então, para qualquer i\in I, x\in A implica imediatamente x\in A_{i}\cup A (porque estar em A basta para pertencer à união A_i\cup A). Como isso vale para todo i\in I, temos
\forall i\in I:\; x\in A_{i}\cup A,
ou seja x\in \bigcap_{i\in I}\left(A_{i}\cup A\right). Portanto, na situação x\in A concluímos a inclusão desejada para esse x.

Passo 5

Caso 2: x\in \bigcap_{i\in I} A_{i}. Pela definição de interseção, isso significa que \forall i\in I:\; x\in A_{i}. Para cada i, ter x\in A_{i} implica x\in A_{i}\cup A. Assim novamente \forall i\in I:\; x\in A_{i}\cup A, o que dá x\in \bigcap_{i\in I}\left(A_{i}\cup A\right).
Juntando os dois casos (pois a hipótese inicial era a disjunção dos casos), qualquer x que está no lado esquerdo também está no lado direito. Logo provamos
A \cup\left(\bigcap_{i\in I} A_{i}\right)\subseteq \bigcap_{i\in I}\left(A_{i}\cup A\right).

Passo 6

Agora provamos a inclusão oposta:
\bigcap_{i\in I}\left(A_{i}\cup A\right)\subseteq A \cup\left(\bigcap_{i\in I} A_{i}\right).
Seja x tal que
x\in \bigcap_{i\in I}\left(A_{i}\cup A\right).
Pela definição de interseção, isso significa que para todo i\in I vale x\in A_{i}\cup A. Em linguagem lógica:
\forall i\in I:\; (x\in A_{i}) \\ \text{ou}\\ (x\in A).

Passo 7

Para concluir, consideramos duas possibilidades:
  • Se x\in A, então imediatamente x\in A \cup\left(\bigcap_{i\in I} A_{i}\right) e estamos feitos.
  • Se x\notin A, então a afirmação \forall i\in I:\; (x\in A_{i}) \\ \text{ou}\\ (x\in A) só pode ser verdadeira se, para cada i, for verdade a disjuntiva pela primeira parte, isto é x\in A_{i}. Portanto, nesse caso obtemos \forall i\in I:\; x\in A_{i}, o que significa x\in \bigcap_{i\in I} A_{i}. Assim x\in A \cup\left(\bigcap_{i\in I} A_{i}\right) também neste subcaso (porque está na segunda alternativa da união).
Como cobri ambas as possibilidades ( x\in A e x\notin A), para qualquer x no lado esquerdo concluímos que x também pertence ao lado direito. Logo a inclusão oposta está provada.

Passo 8

Tendo mostrado as duas inclusões
A \cup\left(\bigcap_{i\in I} A_{i}\right)\subseteq \bigcap_{i\in I}\left(A_{i}\cup A\right) \quad\text{e}\quad \bigcap_{i\in I}\left(A_{i}\cup A\right)\subseteq A \cup\left(\bigcap_{i\in I} A_{i}\right),
concluímos que os dois conjuntos são iguais.
(Dica rápida: essa prova é um “element chase” padrão — pega um elemento genérico e usa as definições de união/interseção. É a maneira mais direta que funciona bem em provas de prova escritas e em provas de concurso/prova de faculdade.)

Resposta

A \cup\left(\bigcap_{i\in I} A_{i}\right)=\bigcap_{i\in I}\left(A_{i}\cup A\right)

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