A diferença simétrica entre dois subconjuntos de um conjunto
é definida por,
. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado define a diferença simétrica de dois subconjuntos
e
de um conjunto
por
e pede para mostrar que, para qualquer conjunto
,
Vamos usar propriedades de operação em conjuntos: distributividade da intersecção sobre a união e a definição de diferença de conjuntos.
Passo 2
Começamos manipulando o lado esquerdo:
Pela distributividade de
sobre
, temos
Passo 3
Agora expressamos cada termo
como diferença de conjuntos. Lembrando que
, obtemos
De modo análogo,
Passo 4
Substituindo essas expressões em nossa união, temos
Mas essa união, por definição, é exatamente a diferença simétrica de
e
:
Note que
e
, pois qualquer elemento de
fora de
também está fora de
, e vice-versa.