A diferença simétrica entre dois subconjuntos de um conjunto X é definida por, A \Delta B=(A-B) \cup(B-A). Mostre que:
(A \Delta B) \cap E=(A \cap E) \Delta(B \cap E).

Passo 1

O enunciado define a diferença simétrica de dois subconjuntos A e B de um conjunto X por
A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)
e pede para mostrar que, para qualquer conjunto E\subset X,
(A \Delta B)\cap E = (A \cap E)\Delta (B \cap E).
Vamos usar propriedades de operação em conjuntos: distributividade da intersecção sobre a união e a definição de diferença de conjuntos.

Passo 2

Começamos manipulando o lado esquerdo:
(A \Delta B)\cap E = \bigl((A - B)\cup (B - A)\bigr)\cap E.
Pela distributividade de \cap sobre \cup, temos
\bigl((A - B)\cup (B - A)\bigr)\cap E = (A - B)\cap E \;\cup\; (B - A)\cap E.

Passo 3

Agora expressamos cada termo (A - B)\cap E como diferença de conjuntos. Lembrando que A - B = A\cap (X\setminus B), obtemos
(A - B)\cap E = A\cap (X\setminus B)\cap E = (A\cap E)\cap (X\setminus B) = (A\cap E) - B.
De modo análogo,
(B - A)\cap E = (B\cap E) - A.

Passo 4

Substituindo essas expressões em nossa união, temos
(A \Delta B)\cap E = \bigl((A\cap E) - B\bigr)\;\cup\;\bigl((B\cap E) - A\bigr).
Mas essa união, por definição, é exatamente a diferença simétrica de A\cap E e B\cap E:
(A\cap E)\Delta (B\cap E) = \bigl((A\cap E)-(B\cap E)\bigr)\cup\bigl((B\cap E)-(A\cap E)\bigr).
Note que (A\cap E)-B=(A\cap E)-(B\cap E) e (B\cap E)-A=(B\cap E)-(A\cap E), pois qualquer elemento de E fora de B também está fora de B\cap E, e vice-versa.

Resposta

(A \Delta B)\cap E \;=\;(A \cap E)\Delta (B \cap E).

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