Prove as leis de De Morgan para uniões e interseções arbitrárias:
Passo 1
O enunciado pede para provar duas igualdades envolvendo complementos, uniões arbitrárias e interseções arbitrárias de uma família de conjuntos
. O conteúdo é teoria de conjuntos básica e a técnica mais direta é usar um argumento elementar: escolhemos um elemento genérico
e traduzimos a pertença a cada lado da igualdade em termos de lógica (quantificadores
,
).
Passo 2
Prova de
.
- Suponha
.
Então.
Por definição de união,
Então
, o que significa
Logo
- Para a inclusão inversa, suponha
.
Então, ou seja para todo .
Assim, o que equivale a
Portanto
Passo 3
Prova de
.
- Se
, então .
Por definição de interseção,
Logo existe algum índice
com
, isto é
mostrando
2. Se , então existe
com
, ou seja
.
Logo , o que implica
2. Se
Logo
Assim