Prove as leis de De Morgan para uniões e interseções arbitrárias:
\left(\bigcup_{\lambda} A_{\lambda}\right)^{C}=\bigcap_{\lambda} A_{\lambda}^{C} \quad \mathrm{e} \quad\left(\bigcap_{\lambda} A_{\lambda}\right)^{C}=\bigcup_{\lambda} A_{\lambda}^{C} .

Passo 1

O enunciado pede para provar duas igualdades envolvendo complementos, uniões arbitrárias e interseções arbitrárias de uma família de conjuntos \{A_{\lambda}\}_{\lambda}. O conteúdo é teoria de conjuntos básica e a técnica mais direta é usar um argumento elementar: escolhemos um elemento genérico x e traduzimos a pertença a cada lado da igualdade em termos de lógica (quantificadores \forall, \exists).

Passo 2

Prova de \displaystyle\bigl(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}=\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}^{C}.
  1. Suponha x\in\bigl(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}.
    Então x\notin\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}.
    Por definição de união,
x\notin\bigcup_{\lambda}A_{\lambda} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\,\lambda,\;x\notin A_{\lambda}.
Então \forall\,\lambda,\;x\in A_{\lambda}^{C}, o que significa
x\in\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}^{C}.
Logo
\bigl(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}\subseteq\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}^{C}.
  1. Para a inclusão inversa, suponha x\in\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}^{C}.
    Então \forall\,\lambda,\;x\in A_{\lambda}^{C}, ou seja x\notin A_{\lambda} para todo \lambda.
    Assim x\notin\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}, o que equivale a
x\in\bigl(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}.
Portanto
\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}^{C}\subseteq\bigl(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}.

Passo 3

Prova de \displaystyle\bigl(\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}=\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}^{C}.
  1. Se x\in\bigl(\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}, então x\notin\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}.
    Por definição de interseção,
x\notin\bigcap_{\lambda}A_{\lambda} \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,\lambda\;\text{tal que}\;x\notin A_{\lambda}.
Logo existe algum índice \lambda com x\in A_{\lambda}^{C}, isto é
x\in\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}^{C},
mostrando \bigl(\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}\subseteq\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}^{C}.
2. Se x\in\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}^{C}, então existe \lambda com x\in A_{\lambda}^{C}, ou seja x\notin A_{\lambda}.
Logo x\notin\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}, o que implica
x\in\bigl(\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}.
Assim \bigcup_{\lambda}A_{\lambda}^{C}\subseteq\bigl(\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}.

Resposta

\bigl(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}=\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}^{C} \quad\text{e}\quad \bigl(\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)^{C}=\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}^{C}.

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