A diferença simétrica entre dois subconjuntos de um conjunto
é definida por,
. Mostre que:
;
Passo 1
O enunciado está em teoria de conjuntos e trata da diferença simétrica definida por
Queremos mostrar a equivalência
onde
é o complemento de
no universo
. Para isso, faremos as duas implicações.
Passo 2
(Provar
.)
Suponha . Para mostrar
precisamos de duas inclusões:
Suponha
-
:
Seja. Como e , temos . Mas impede , logo . Portanto , ou seja, . Assim . -
:
Seja. Então . Como , . A condição impede , então obrigatoriamente . Logo .
Dessa forma concluímos
.
Passo 3
(Provar
.)
Suponha . Então
Suponha
Mas
e
. Portanto
já que
.
Resposta
Portanto demonstramos que