A diferença simétrica entre dois subconjuntos de um conjunto X é definida por, A \Delta B=(A-B) \cup(B-A). Mostre que:
A \Delta B=X \Leftrightarrow A=B^{C};

Passo 1

O enunciado está em teoria de conjuntos e trata da diferença simétrica definida por
A \Delta B = (A - B)\cup(B - A).
Queremos mostrar a equivalência
A \Delta B = X \quad\Leftrightarrow\quad A = B^{C},
onde B^{C} é o complemento de B no universo X. Para isso, faremos as duas implicações.

Passo 2

(Provar A \Delta B = X\implies A = B^{C}.)
Suponha \;A \Delta B = X. Para mostrar A = B^{C} precisamos de duas inclusões:
  1. A\subseteq B^{C}:
    Seja x\in A. Como A\subseteq X e X=A\Delta B, temos x\in A\Delta B. Mas x\in A impede x\in B - A, logo x\in A - B. Portanto x\notin B, ou seja, x\in B^{C}. Assim A\subseteq B^{C}.
  2. B^{C}\subseteq A:
    Seja x\in B^{C}. Então x\notin B. Como x\in X=A\Delta B, x\in(A - B)\cup(B - A). A condição x\notin B impede x\in B - A, então obrigatoriamente x\in A - B\subseteq A. Logo B^{C}\subseteq A.
Dessa forma concluímos A= B^{C}.

Passo 3

(Provar A = B^{C}\implies A \Delta B = X.)
Suponha A = B^{C}. Então
A \Delta B = (B^{C}-B)\cup(B - B^{C}).
Mas B^{C}-B = B^{C} e B - B^{C}=B. Portanto
A \Delta B = B^{C}\cup B = X,
já que B\cup B^{C}=X.

Resposta

Portanto demonstramos que
A \Delta B = X \quad\Longleftrightarrow\quad A = B^{C}.

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