A diferença simétrica entre dois subconjuntos de um conjunto X é definida por, A \Delta B=(A-B) \cup(B-A). Mostre que:
A \Delta \varphi=A e A \Delta X=A^{C};

Passo 1

O enunciado define a diferença simétrica de dois subconjuntos de um universo X por
A \Delta B = (A - B) \cup (B - A).
O conteúdo é teoria de conjuntos: operação de diferença e união, além de noção de conjunto vazio \emptyset e complemento A^{C}. Vamos aplicar a definição nos dois casos pedidos.

Passo 2

Para A \Delta \emptyset substituímos B=\emptyset na definição:
A - \emptyset = \{\,x\in A\mid x\notin\emptyset\} = A,
pois nenhum elemento de A está em \emptyset, e
\emptyset - A = \{\,x\in\emptyset\mid x\notin A\} = \emptyset.
Portanto
A \Delta \emptyset = (A - \emptyset)\cup(\emptyset - A) = A\cup\emptyset = A.

Passo 3

Concluímos que
A \Delta \emptyset = A.

Passo 4

Para A \Delta X tomamos B=X:
A - X = \{\,x\in A\mid x\notin X\} = \emptyset,
pois todo x\in A está em X, e
X - A = \{\,x\in X\mid x\notin A\} = A^{C}.
Assim
A \Delta X = (A - X)\cup(X - A) = \emptyset\cup A^{C} = A^{C}.

Resposta

A \Delta \emptyset = A A \Delta X = A^{C}

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