Seja
a região limitada pelo cilindro parabólico
, pelo plano
, e pelos planos coordenados
e
. Calcule o fluxo do campo
através da superfície
de
, com normal
exterior a
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da superfície fechada
da região
, com normal exterior.
As superfícies que limitam são:
As superfícies que limitam
- o cilindro parábolico (paraboloide de revolução no sentido dos
) (teto), - o plano
(um limite lateral inclinado), - os planos coordenados
e (base e parede).
O que se pede: calcularcom apontando para fora de .
Passo 2
Método escolhido: Teorema da Divergência (Gauss). Explicando a ideia (passo didático): o Teorema da Divergência diz que, para uma região sólida
com superfície fechada
e um campo vetorial suficientemente suave
,
Ou seja, em vez de somar fluxos por cada face curva da superfície, basta integrar a divergência do campo no interior de
. Isto costuma simplificar muito quando
é simples (por exemplo constante). Aqui
é suave nas regiões consideradas, então podemos aplicar o teorema.
Passo 3
Calcular a divergência
. Por definição,
Agora derivadas termo a termo:
-
. -
porque não depende de . -
. -
porque não depende de . -
porque não depende de . -
porque não depende de .
Somando:
Portanto a divergência é a constante
, o que facilita muito a integral.
Passo 4
Com o Teorema da Divergência:
Logo basta calcular o volume de
. Agora vamos descrever
em coordenadas cartesianas e montar a integral tripla.
Descrição de
:
- Pelo teto:
. - Pelo piso:
. - Pelo plano lateral:
(pois dá teto em ). - Pela parede:
. - Para existir
com é necessário , ou seja .
Escolhemos a ordem de integração
(primeiro em
, depois
, depois
) porque os limites de
são simples:
, e os limites de
dependem só de
:
.
Portanto
Passo 5
Calcular a integral do volume passo a passo.
Integral em
:
Substituindo:
Integral em
:
Expandir e simplificar
:
Logo
Assim
Passo 6
Calcular a integral em
. A função integranda é par (só termos pares de
), então:
Integral de cada termo em
:
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Finalmente, o fluxo pedido é