Seja W a região limitada pelo cilindro parabólico z=1-x^{2}, pelo plano y+z=2, e pelos planos coordenados z=0 \quad e \quad y=0. Calcule o fluxo do campo \vec{F}=\left(x+e^{-y} \sin z\right) \vec{i}+(y+\arctan z) \vec{j}+ (\sin x+\cos y) \vec{k} através da superfície S de W, com normal \vec{n} exterior a W.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F}=\left(x+e^{-y}\sin z\right)\vec{i}+(y+\arctan z)\vec{j}+(\sin x+\cos y)\vec{k} através da superfície fechada S da região W, com normal exterior.
As superfícies que limitam W são:
  • o cilindro parábolico (paraboloide de revolução no sentido dos y) \,z=1-x^{2}\, (teto),
  • o plano \,y+z=2 (um limite lateral inclinado),
  • os planos coordenados \,z=0 e \,y=0 (base e parede).
    O que se pede: calcular \displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS com \vec{n} apontando para fora de W.

Passo 2

Método escolhido: Teorema da Divergência (Gauss). Explicando a ideia (passo didático): o Teorema da Divergência diz que, para uma região sólida W com superfície fechada S e um campo vetorial suficientemente suave \vec{F},
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{W} \operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Ou seja, em vez de somar fluxos por cada face curva da superfície, basta integrar a divergência do campo no interior de W. Isto costuma simplificar muito quando \operatorname{div}\vec{F} é simples (por exemplo constante). Aqui \vec{F} é suave nas regiões consideradas, então podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Calcular a divergência \operatorname{div}\vec{F}. Por definição,
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x+e^{-y}\sin z\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y+\arctan z\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\sin x+\cos y\bigr).
Agora derivadas termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-y}\sin z\bigr)=0 porque não depende de x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y)=1.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(\arctan z)=0 porque não depende de y.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(\sin x)=0 porque não depende de z.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(\cos y)=0 porque não depende de z.
Somando:
\operatorname{div}\vec{F}=1+1+0=2.
Portanto a divergência é a constante 2, o que facilita muito a integral.

Passo 4

Com o Teorema da Divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{W} 2\,dV \;=\; 2\cdot \operatorname{Vol}(W).
Logo basta calcular o volume de W. Agora vamos descrever W em coordenadas cartesianas e montar a integral tripla.
Descrição de W:
  • Pelo teto: z\le 1-x^{2}.
  • Pelo piso: z\ge 0.
  • Pelo plano lateral: y\le 2-z (pois y+z=2 dá teto em y).
  • Pela parede: y\ge 0.
  • Para existir z com 0\le z\le 1-x^{2} é necessário 1-x^{2}\ge0, ou seja -1\le x\le 1.
Escolhemos a ordem de integração dy\,dz\,dx (primeiro em y, depois z, depois x) porque os limites de y são simples: 0\le y\le 2-z, e os limites de z dependem só de x: 0\le z\le 1-x^{2}.
Portanto
\operatorname{Vol}(W)=\int_{x=-1}^{1}\int_{z=0}^{1-x^{2}}\int_{y=0}^{2-z} dy\,dz\,dx.

Passo 5

Calcular a integral do volume passo a passo.
Integral em y:
\int_{y=0}^{2-z} dy = 2-z.
Substituindo:
\operatorname{Vol}(W)=\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^{2}} (2-z)\,dz\,dx.
Integral em z:
\int_{0}^{1-x^{2}} (2-z)\,dz = \Bigl[2z-\frac{z^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1-x^{2}} =2(1-x^{2})-\frac{(1-x^{2})^{2}}{2}.
Expandir e simplificar (1-x^{2})^{2}:
(1-x^{2})^{2}=1-2x^{2}+x^{4}.
Logo
2(1-x^{2})-\frac{1-2x^{2}+x^{4}}{2} =2-2x^{2}-\frac{1}{2}+\;x^{2}-\frac{x^{4}}{2} =\frac{3}{2}-x^{2}-\frac{x^{4}}{2}.
Assim
\operatorname{Vol}(W)=\int_{-1}^{1}\Bigl(\frac{3}{2}-x^{2}-\frac{x^{4}}{2}\Bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral em x. A função integranda é par (só termos pares de x), então:
\operatorname{Vol}(W)=2\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{3}{2}-x^{2}-\frac{x^{4}}{2}\Bigr)\,dx.
Integral de cada termo em [0,1]:
\int_{0}^{1}\frac{3}{2}\,dx=\frac{3}{2},\qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{10}.
Somando:
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{3}{2}-x^{2}-\frac{x^{4}}{2}\Bigr)\,dx =\frac{3}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{10}.
Colocando em denominador comum 30:
\frac{3}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{10}=\frac{45-10-3}{30}=\frac{32}{30}=\frac{16}{15}.
Multiplicando por 2:
\operatorname{Vol}(W)=2\cdot\frac{16}{15}=\frac{32}{15}.

Passo 7

Finalmente, o fluxo pedido é
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; 2\cdot \operatorname{Vol}(W) =2\cdot\frac{32}{15}=\frac{64}{15}.

Resposta

\dfrac{64}{15}

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