Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em
, e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{1 + x}{1 - x} $ e precisa encontrar uma representação dela como uma série de potências centrada em $ x = 0 $. Além disso, precisamos descobrir para quais valores de $ x $ essa série converge. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre a série geométrica básica:
Vamos ver como adaptar isso para nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função $ f(x) $:
Agora, cada uma dessas frações pode ser representada como uma série geométrica, usando a série que a gente já conhece.
Passo 3
Sabemos que:
E, multiplicando ambos os lados por $ x $:
Aqui, a gente apenas ajustou o índice para começar em $ n = 1 $.
Passo 4
Agora, juntando as duas partes que separamos:
Para somar essas séries, vamos reescrever a segunda soma começando de $ n = 0 $:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de $ f(x) $:
Mas observe que a soma $ \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} $ já inclui o termo $ n = 0 $, que é 1. Então, ao subtrairmos 1, estamos efetivamente apenas adicionando mais termos a partir de $ n = 1 $.
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Essa é a representação em série de potências para $ f(x) $.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. A série geométrica $ \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} $ converge para $ |x| < 1 $. Como nossa série para $ f(x) $ foi baseada nessa série, o intervalo de convergência também será:
Resposta
A representação em série de potências de $ f(x) = \frac{1 + x}{1 - x} $, centrada em $ x = 0 $, é:
E o intervalo de convergência dessa série é $ |x| < 1 $.