Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em x=0, e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
11-x=sumn=0^infty x^n, para |x|<1
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
f(x)=1+x1-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{1 + x}{1 - x} $ e precisa encontrar uma representação dela como uma série de potências centrada em $ x = 0 $. Além disso, precisamos descobrir para quais valores de $ x $ essa série converge. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre a série geométrica básica:
f(x) = 1 + x1 - x
Vamos ver como adaptar isso para nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função $ f(x) $:
f(x)
Agora, cada uma dessas frações pode ser representada como uma série geométrica, usando a série que a gente já conhece.

Passo 3

Sabemos que:
11 - x = sumn=0^infty x^n, para |x| < 1
E, multiplicando ambos os lados por $ x $:
x
Aqui, a gente apenas ajustou o índice para começar em $ n = 1 $.

Passo 4

Agora, juntando as duas partes que separamos:
f(x) = 11 - x + x1 - x = sumn=0^infty x^n + sumn=1^infty x^n
Para somar essas séries, vamos reescrever a segunda soma começando de $ n = 0 $:
n = 0

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de $ f(x) $:
f(x)
Mas observe que a soma $ \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} $ já inclui o termo $ n = 0 $, que é 1. Então, ao subtrairmos 1, estamos efetivamente apenas adicionando mais termos a partir de $ n = 1 $.

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
f(x) = 1 + 2x + 2x^2 + 2x^3 + dots = 1 + 2 sumn=1^infty x^n
Essa é a representação em série de potências para $ f(x) $.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. A série geométrica $ \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} $ converge para $ |x| < 1 $. Como nossa série para $ f(x) $ foi baseada nessa série, o intervalo de convergência também será:
sumn=0^infty x^n

Resposta

A representação em série de potências de $ f(x) = \frac{1 + x}{1 - x} $, centrada em $ x = 0 $, é:
f(x) = 1 + x1 - x
E o intervalo de convergência dessa série é $ |x| < 1 $.

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