Diferencie.
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{2^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sin x}{2^{x}}.
O conteúdo necessário aqui é a regra do produto (ou quociente) e a regra da cadeia para a função exponencial. Para facilitar, vamos reescrever
f(x)=\sin x\;\cdot\;2^{-x}.

Passo 2

Calculemos separadamente as derivadas de cada fator em f(x)=u(x)\,v(x), onde
u(x)=\sin x \qquad\text{e}\qquad v(x)=2^{-x}.
A derivada de u é
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
Para v(x)=2^{-x} usamos que 2^{-x}=e^{-x\ln 2}. Aplicando a regra da cadeia:
v'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x\ln 2}\bigr) =e^{-x\ln 2}\,\bigl(-\ln 2\bigr) =-\ln 2\;\cdot\;2^{-x}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os resultados:
f'(x) =\cos x\;\cdot\;2^{-x} +\sin x\;\cdot\;\bigl(-\ln 2\;\cdot\;2^{-x}\bigr) =2^{-x}\,\bigl(\cos x-\ln 2\;\sin x\bigr).

Passo 4

Para expressar de volta em termos de 2^{x} no denominador, note que 2^{-x}=\tfrac1{2^{x}}. Assim:
f'(x) =\frac{\cos x-\ln 2\;\sin x}{2^{x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos x-\ln 2\;\sin x}{2^{x}}.

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