Diferencie a função.
y=(1+raizx)(x-x^3).

Passo 1

A gente tem uma função que é produto de duas partes e precisamos diferenciá-la. O conteúdo que vamos usar é a regra do produto para derivadas e a regra de potência para derivar raízes. A função é:
y=(1+raizx)(x-x^3)

Passo 2

Pra aplicar a regra do produto, identificamos duas funções: Definimos u(x)=1+raizx e v(x)=x-x^3, assim y(x)=u(x)cdot v(x).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada parte usando a regra de potência ( dl(x^nr)/dx=n,x^n-1):
Derivada de u:
u'(x)=ddxl(1+x^1/2r)=0+tfrac12x^-1/2=12raizx
Derivada de v:
v'(x)=ddx(x-x^3)=1-3x^2

Passo 4

Aplicamos a regra do produto: y'=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 5

Substituímos u, v, u' e v' e simplificamos termo a termo: y'=12raizx(x-x^3)+(1+raizx)(1-3x^2)

Passo 6

Vamos detalhar a simplificação do primeiro termo: 12raizx(x-x^3)=12l(x^1/2-x^5/2r)

Passo 7

Expandindo o segundo produto e somando tudo: y'=12x^1/2-12x^5/2+1-3x^2+raizx-3x^5/2

Passo 8

Agora agrupamos termos semelhantes de cada potência de x:
Dos termos em x^1/2: 12x^1/2+x^1/2=tfrac32x^1/2
Dos termos em x^5/2:
E os termos em potência inteira ficam como estão. Assim chegamos à forma final da derivada.

Resposta

y'=1-3x^2+tfrac32x^1/2-tfrac72x^5/2

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