Represente f(x) por uma série de potências.
f(x)=x^2 ln (1+x^2), |x|<1.

Passo 1

O enunciado pede para representar a função f(x)=x^2ln(1+x^2) em série de potências no intervalo |x|<1. Vamos usar a expansão de Maclaurin de ln(1+u).

Passo 2

Lembrando que, para |u|<1, temos a série de potências
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n+1u^nn

Passo 3

Fazendo a troca de variável u=x^2, válida para |x^2|<1 (isto é, |x|<1), obtemos
ln(1+x^2)=sumn=1^infty(-1)^n+1x^2nn

Passo 4

Basta agora multiplicar ambos os lados por x^2 para chegar em f(x):
x^2ln(1+x^2)=x^2sumn=1^infty(-1)^n+1x^2nn= sumn=1^infty(-1)^n+1x^2n+2n

Resposta

x^2ln(1+x^2)=sumn=1^infty(-1)^n+1x^2n+2n,|x|<1

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