(2,0 pts) Considere a função
Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que a questão pede:
- Determinar as assíntotas verticais do gráfico de
. - Determinar as assíntotas horizontais do gráfico de
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é uma razão de polinômios (fração racional).
- Zeros do numerador e zeros do denominador serão importantes (podem gerar assíntotas ou buracos).
Nada mais é fornecido; vamos usar fatoração e limites.
Passo 2
Fatoremos numerador e denominador (isso facilita identificar zeros comuns e o comportamento da função).
Fatorando:
Fatorando:
Portanto
Passo 3
Observe que há um fator
comum no numerador e no denominador. Isso significa que a expressão algébrica pode ser simplificada (exceto nos pontos onde o denominador original é zero). Simplificando (para
):
Interpretação desta simplificação:
- O zero comum em
não gera uma assíntota vertical — gera uma descontinuidade removível (um “buraco”) no gráfico. A coordenada do buraco é dada pelo limite quando :
Então há um buraco em
no ponto
.
Passo 4
Agora identifiquemos as possíveis assíntotas verticais: são os valores de
que anulam o denominador original e que não foram eliminados por cancelamento. O denominador original anula-se em
e
. Como o fator
foi cancelado,
não é assíntota vertical. Sobrou
.
Verificação de que
é assíntota vertical:
- Avaliando o numerador no ponto
: . Portanto o numerador não se anula em , logo o denominador vai a zero enquanto o numerador fica finito e não nulo — comportamento típico de assíntota vertical. - Podemos ver os limites laterais para confirmar: usando a forma simplificada
(válida perto de , exceto em mesmo), - quando
: o denominador e o numerador , então ; - quando
: o denominador e o numerador continua positivo, então .
Esses limites infinitos (com sinais possivelmente diferentes) confirmam queé uma assíntota vertical.
- quando
Passo 5
Agora a assíntota horizontal. Para uma função racional
com os polinômios
e
:
- Se
então é assíntota horizontal. - Se
então a assíntota horizontal é . - Se
não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
Aqui
e os coeficientes líderes são ambos
. Logo
e também
. Portanto existe assíntota horizontal
Passo 6
Resumo dos resultados e observações extras úteis para a prova:
- A única assíntota vertical é
. - A assíntota horizontal é
. - Há uma descontinuidade removível (buraco) em
com valor limite — atenção: esse ponto não é uma assíntota vertical.
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal: