(2,0 pts) Considere a função
f(x)=\frac{x^{2}+x-20}{x^{2}-6 x+8} .
Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{2}+x-20}{x^{2}-6x+8}.
O que a questão pede:
  • Determinar as assíntotas verticais do gráfico de f.
  • Determinar as assíntotas horizontais do gráfico de f.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é uma razão de polinômios (fração racional).
  • Zeros do numerador e zeros do denominador serão importantes (podem gerar assíntotas ou buracos).
    Nada mais é fornecido; vamos usar fatoração e limites.

Passo 2

Fatoremos numerador e denominador (isso facilita identificar zeros comuns e o comportamento da função).
Fatorando:
x^{2}+x-20=(x+5)(x-4),
x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4).
Portanto
f(x)=\frac{(x+5)(x-4)}{(x-2)(x-4)}.

Passo 3

Observe que há um fator (x-4) comum no numerador e no denominador. Isso significa que a expressão algébrica pode ser simplificada (exceto nos pontos onde o denominador original é zero). Simplificando (para x\neq4):
f(x)=\frac{x+5}{x-2}\quad \text{para } x\neq4.
Interpretação desta simplificação:
  • O zero comum em x=4 não gera uma assíntota vertical — gera uma descontinuidade removível (um “buraco”) no gráfico. A coordenada do buraco é dada pelo limite quando x\to4:
\lim_{x\to4}f(x)=\lim_{x\to4}\frac{x+5}{x-2}=\frac{4+5}{4-2}=\frac{9}{2}.
Então há um buraco em x=4 no ponto \left(4,\frac{9}{2}\right).

Passo 4

Agora identifiquemos as possíveis assíntotas verticais: são os valores de x que anulam o denominador original e que não foram eliminados por cancelamento. O denominador original anula-se em x=2 e x=4. Como o fator (x-4) foi cancelado, x=4 não é assíntota vertical. Sobrou x=2.
Verificação de que x=2 é assíntota vertical:
  • Avaliando o numerador no ponto x=2: 2^{2}+2-20=4+2-20=-14\neq0. Portanto o numerador não se anula em x=2, logo o denominador vai a zero enquanto o numerador fica finito e não nulo — comportamento típico de assíntota vertical.
  • Podemos ver os limites laterais para confirmar: usando a forma simplificada \dfrac{x+5}{x-2} (válida perto de 2, exceto em 2 mesmo),
    • quando x\to2^+: o denominador (x-2)\to0^+ e o numerador x+5\to7>0, então \dfrac{x+5}{x-2}\to +\infty;
    • quando x\to2^-: o denominador (x-2)\to0^- e o numerador continua positivo, então \dfrac{x+5}{x-2}\to -\infty.
      Esses limites infinitos (com sinais possivelmente diferentes) confirmam que x=2 é uma assíntota vertical.

Passo 5

Agora a assíntota horizontal. Para uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com os polinômios P e Q:
  • Se \deg P < \deg Q então y=0 é assíntota horizontal.
  • Se \deg P = \deg Q então a assíntota horizontal é y=\dfrac{\text{coeficiente líder de }P}{\text{coeficiente líder de }Q}íí.
  • Se \deg P > \deg Q não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
Aqui \deg P=\deg Q=2 e os coeficientes líderes são ambos 1. Logo
\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+x-20}{x^{2}-6x+8}=1,
e também \lim_{x\to-\infty}f(x)=1. Portanto existe assíntota horizontal
y=1.

Passo 6

Resumo dos resultados e observações extras úteis para a prova:
  • A única assíntota vertical é x=2.
  • A assíntota horizontal é y=1.
  • Há uma descontinuidade removível (buraco) em x=4 com valor limite \dfrac{9}{2} — atenção: esse ponto não é uma assíntota vertical.

Resposta

Assíntota vertical: x=2
Assíntota horizontal: y=1

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