Diferencie a função:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a diferenciemos. Informações importantes que temos:
- A função está definida para todo
porque a raiz quinta de existe para negativo e a expressão é bem definida para todo . - Precisamos encontrar a derivada
para os pontos onde ela existe e verificar o que acontece em .
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar (explicação didática): a regra do poder (power rule) diz que, para uma função
com
real, a derivada para
é
O que isso significa concretamente: multiplica-se pela potência
e diminui-se o expoente de 1 unidade. Essa fórmula pode ser demonstrada usando limites ou a regra da cadeia quando
é racional, mas na prática em prova usa-se direto essa regra, lembrando de cuidar do ponto
quando o expoente leva a potências negativas.
Passo 3
Aplicando a regra do poder com
:
Calcule o expoente novo:
Portanto,
Passo 4
Escrever a derivada em formas equivalentes que podem ser úteis na prova:
Essa expressão está bem definida para todo
. Agora é preciso verificar o ponto
separadamente, porque a expressão acima tem potência negativa e leva a divisão por zero em
.
Passo 5
Verificação da diferenciabilidade em
usando a definição de derivada (cálculo do quociente incremental):
- Se
, então . - Se
, escrevendo com , tem-se .
Como os limites laterais do quociente incremental divergem com sinais opostos, o limite não existe finito em. Logo a função não é diferenciável em .
Passo 6
Interpretação geométrica rápida (útil para prova): a função tem uma “ponta” (cúspide) em
— a inclinação da tangente tende a
pela direita e a
pela esquerda — por isso não existe derivada finita em
. Para todo
a derivada é a fórmula dada no passo anterior.
Resposta
A função não é diferenciável em