Diferencie a função:
y=x^{2 / 5}.

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2/5} e pede que a diferenciemos. Informações importantes que temos:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} porque a raiz quinta de x existe para x negativo e a expressão x^{2/5}=(\sqrt[5]{x})^{2} é bem definida para todo x.
  • Precisamos encontrar a derivada y'=\dfrac{dy}{dx} para os pontos onde ela existe e verificar o que acontece em x=0.

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar (explicação didática): a regra do poder (power rule) diz que, para uma função f(x)=x^{n} com n real, a derivada para x\neq0 é
f'(x)=n x^{n-1}.
O que isso significa concretamente: multiplica-se pela potência n e diminui-se o expoente de 1 unidade. Essa fórmula pode ser demonstrada usando limites ou a regra da cadeia quando n é racional, mas na prática em prova usa-se direto essa regra, lembrando de cuidar do ponto x=0 quando o expoente leva a potências negativas.

Passo 3

Aplicando a regra do poder com n=\tfrac{2}{5}:
y'= \frac{2}{5}\,x^{\frac{2}{5}-1}.
Calcule o expoente novo:
\frac{2}{5}-1=\frac{2}{5}-\frac{5}{5}=-\frac{3}{5}.
Portanto,
y'=\frac{2}{5}\,x^{-3/5}.

Passo 4

Escrever a derivada em formas equivalentes que podem ser úteis na prova:
y'=\frac{2}{5}\,x^{-3/5}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x^{3/5}}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{\big(\sqrt[5]{x}\big)^{3}}.
Essa expressão está bem definida para todo x\neq0. Agora é preciso verificar o ponto x=0 separadamente, porque a expressão acima tem potência negativa e leva a divisão por zero em x=0.

Passo 5

Verificação da diferenciabilidade em x=0 usando a definição de derivada (cálculo do quociente incremental):
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^{2/5}-0}{h}=h^{\frac{2}{5}-1}=h^{-3/5}.
  • Se h\to0^{+}, então h^{-3/5}\to +\infty.
  • Se h\to0^{-}, escrevendo h=-t com t>0, tem-se \dfrac{h^{2/5}}{h}=\dfrac{t^{2/5}}{-t}=-t^{-3/5}\to -\infty.
    Como os limites laterais do quociente incremental divergem com sinais opostos, o limite não existe finito em 0. Logo a função não é diferenciável em x=0.

Passo 6

Interpretação geométrica rápida (útil para prova): a função tem uma “ponta” (cúspide) em (0,0) — a inclinação da tangente tende a +\infty pela direita e a -\infty pela esquerda — por isso não existe derivada finita em 0. Para todo x\neq0 a derivada é a fórmula dada no passo anterior.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{2}{5}\,x^{-3/5} para \displaystyle x\ne0
A função não é diferenciável em \displaystyle x=0.

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