Diferente do pêndulo simples, um pêndulo físico é qualquer corpo rígido (como uma régua ou uma viga) de massa m que pode oscilar em torno de um pivô. A distância do pivô ao centro de massa é d, e o momento de inércia em relação ao pivô é I. Nossa missão é encontrar sua frequência de oscilação.

Aplicando o Algoritmo (Versão Rotacional)

  1. Passo 1 (Equilíbrio): Qual é a orientação angular \theta de equilíbrio do pêndulo?
  2. Passo 2 (Perturbação): Deslocamos o corpo por um pequeno ângulo \delta \theta.
  3. Passo 3 (Torque Restaurador): A oscilação rotacional é governada por torques.
    (a) Qual força cria um torque em torno do pivô? (Dica: a gravidade atuando no centro de massa).
    (b) Deduza a expressão para este torque restaurador, \tau_{\text {res }}, em função de \delta \theta.
    (c) Use a aproximação de pequenos ângulos para linearizar o torque, mostrando que ele tem a forma \tau_{\text {res }} \approx-\kappa_{\text {efetivo }} \cdot \delta \theta. Identifique a “constante de torção efetiva”, \kappa_{\text {efetivo }}.
  4. Passo 4 (Identificando \omega^{2} ): Aplique a 2^{\underline{\mathrm{a}}} Lei de Newton para rotações, \tau_{\text {res }}= I \alpha=I \ddot{\delta} \theta. Reorganize para a forma canônica e identifique \omega^{2}.

Passo 1

O enunciado dá um corpo rígido de massa m que oscila em torno de um pivô. Dados importantes fornecidos:
m,\qquad d\\ \text{(distância do pivô ao centro de massa)},\qquad I\\ \text{(momento de inércia em relação ao pivô)}.âôéçãô
As perguntas que precisamos responder são:
  1. Qual a orientação angular \theta de equilíbrio do pêndulo?
  2. Se deslocamos o corpo por um pequeno ângulo \delta\theta, qual é a força que produz o torque restaurador?
  3. (a) Escrever a expressão do torque restaurador \tau_{\text{res}} em função de \delta\theta.
    (b) Linearizar esse torque para pequenos ângulos e mostrar que \tau_{\text{res}}\approx -\kappa_{\text{efetivo}}\cdot\delta\theta. Identificar \kappa_{\text{efetivo}}.
  4. Usar a segunda lei de Newton para rotações \tau_{\text{res}}=I\alpha=I\ddot{\delta\theta} e encontrar \omega^2 (logo a frequência de oscilação).

Passo 2

Qual é a orientação de equilíbrio? Vou definir o ângulo \theta medido a partir da vertical apontando para baixo (ou seja, \theta=0 quando o centro de massa está exatamente abaixo do pivô). Em equilíbrio estável a soma dos torques é zero. A gravidade age no centro de massa e, quando o centro de massa está exatamente abaixo do pivô, a linha de ação da força peso passa pelo pivô e não cria momento (torque) em relação ao pivô. Portanto a orientação angular de equilíbrio é
\theta_{\text{eq}}=0.
(Se preferir outra convenção de sinal, a ideia é a mesma: equilíbrio quando o CM está verticalmente abaixo do pivô.)

Passo 3

Deslocamento pequeno: definimos o deslocamento angular pequeno como \delta\theta, de modo que a posição angular instantânea é \theta=\theta_{\text{eq}}+\delta\theta=\delta\theta. Aqui estamos interessados em pequenos \delta\theta (pequeno significa numericamente próximo de zero, para podermos aproximar funções trigonométricas).

Passo 4

Qual força cria o torque? A força que cria torque é a força peso \vec{F}=m\vec{g} aplicada no centro de massa.
Agora vou deduzir a expressão do torque restaurador. O torque em módulo dado pela definição do produto vetorial é
|\tau| = r\,F\,\sin\varphi,
onde r é a distância do pivô ao ponto de aplicação da força (aqui r=d), F=mg é a intensidade da força peso, e \varphi é o ângulo entre o vetor \vec{r} e a força. No nosso desenho, quando o corpo está girado por \delta\theta em relação à vertical, a força peso tende a girar o corpo para restaurar a posição; geometricamente o braço de alavanca faz com que o torque tenha magnitude
|\tau_{\text{res}}| = m g d \sin(\delta\theta).
Devemos também escolher o sinal certo: se \delta\theta é positivo para um desvio para um lado, o torque gravitacional tende a produzir aceleração angular no sentido oposto (é restaurador). Portanto o torque restaurador (com sinal) é
\tau_{\text{res}} = - m g d \,\sin(\delta\theta).
Aqui o sinal negativo indica que o torque é oposto ao deslocamento \delta\theta, ou seja, é restaurador.

Passo 5

Linearização para pequenos ângulos: a aproximação de pequenos ângulos (explicando bem) vem da série de Taylor da função seno em torno de zero:
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!}-\dots
Para x pequeno os termos de ordem superior são desprezíveis, então usamos \sin x \approx x. Aplicando isso ao nosso problema com x=\delta\theta obtemos
\tau_{\text{res}} \approx - m g d \,\delta\theta.
Isto tem exatamente a forma de um “torque elástico” linear, análogo à Lei de Hooke F=-k x na translação. Assim podemos identificar a constante de torção efetiva
\kappa_{\text{efetivo}} = m g d,
porque \tau_{\text{res}}\approx -\kappa_{\text{efetivo}}\delta\theta.

Passo 6

Aplicando a segunda lei de Newton para rotações: a equação do movimento para o pequeno deslocamento \delta\theta(t) é
I\,\ddot{\delta\theta}(t)=\tau_{\text{res}}\approx -m g d\,\delta\theta(t).
Reorganizando para a forma canônica de uma equação harmônica:
\ddot{\delta\theta} + \frac{m g d}{I}\,\delta\theta = 0.
Comparando com a equação padrão \ddot{x}+\omega^{2}x=0, identificamos
\omega^{2}=\frac{m g d}{I}.
Logo a pulsação angular é
\omega=\sqrt{\frac{m g d}{I}}.
A partir disso a frequência (número de oscilações por segundo) é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{m g d}{I}},
e o período (tempo de uma oscilação) é
T=2\pi\sqrt{\frac{I}{m g d}}.

Resposta

\theta_{\text{eq}}=0 (centro de massa diretamente abaixo do pivô)\newline
\tau_{\text{res}}=-m g d\,\sin(\delta\theta)\newline
Linearizado: \tau_{\text{res}}\approx -m g d\,\delta\theta\newline
\kappa_{\text{efetivo}}=m g d\newline
\omega^{2}=\dfrac{m g d}{I}, \omega=\sqrt{\dfrac{m g d}{I}}\newline
T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{m g d}}, \;f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{m g d}{I}}

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