Diferente do pêndulo simples, um pêndulo físico é qualquer corpo rígido (como uma régua ou uma viga) de massa
que pode oscilar em torno de um pivô. A distância do pivô ao centro de massa é
, e o momento de inércia em relação ao pivô é
. Nossa missão é encontrar sua frequência de oscilação.
Aplicando o Algoritmo (Versão Rotacional)
- Passo 1 (Equilíbrio): Qual é a orientação angular
de equilíbrio do pêndulo?
- Passo 2 (Perturbação): Deslocamos o corpo por um pequeno ângulo
.
- Passo 3 (Torque Restaurador): A oscilação rotacional é governada por torques.
(a) Qual força cria um torque em torno do pivô? (Dica: a gravidade atuando no centro de massa).
(b) Deduza a expressão para este torque restaurador,
, em função de
.
(c) Use a aproximação de pequenos ângulos para linearizar o torque, mostrando que ele tem a forma
. Identifique a “constante de torção efetiva”,
.
- Passo 4 (Identificando
): Aplique a
Lei de Newton para rotações,
. Reorganize para a forma canônica e identifique
.
(a) Qual força cria um torque em torno do pivô? (Dica: a gravidade atuando no centro de massa).
(b) Deduza a expressão para este torque restaurador,
(c) Use a aproximação de pequenos ângulos para linearizar o torque, mostrando que ele tem a forma
Passo 1
O enunciado dá um corpo rígido de massa
que oscila em torno de um pivô. Dados importantes fornecidos:
As perguntas que precisamos responder são:
- Qual a orientação angular
de equilíbrio do pêndulo? - Se deslocamos o corpo por um pequeno ângulo
, qual é a força que produz o torque restaurador? - (a) Escrever a expressão do torque restaurador
em função de .
(b) Linearizar esse torque para pequenos ângulos e mostrar que. Identificar . - Usar a segunda lei de Newton para rotações
e encontrar (logo a frequência de oscilação).
Passo 2
Qual é a orientação de equilíbrio? Vou definir o ângulo
medido a partir da vertical apontando para baixo (ou seja,
quando o centro de massa está exatamente abaixo do pivô). Em equilíbrio estável a soma dos torques é zero. A gravidade age no centro de massa e, quando o centro de massa está exatamente abaixo do pivô, a linha de ação da força peso passa pelo pivô e não cria momento (torque) em relação ao pivô. Portanto a orientação angular de equilíbrio é
(Se preferir outra convenção de sinal, a ideia é a mesma: equilíbrio quando o CM está verticalmente abaixo do pivô.)
Passo 3
Deslocamento pequeno: definimos o deslocamento angular pequeno como
, de modo que a posição angular instantânea é
. Aqui estamos interessados em pequenos
(pequeno significa numericamente próximo de zero, para podermos aproximar funções trigonométricas).
Passo 4
Qual força cria o torque? A força que cria torque é a força peso
aplicada no centro de massa.
Agora vou deduzir a expressão do torque restaurador. O torque em módulo dado pela definição do produto vetorial é
onde
é a distância do pivô ao ponto de aplicação da força (aqui
),
é a intensidade da força peso, e
é o ângulo entre o vetor
e a força. No nosso desenho, quando o corpo está girado por
em relação à vertical, a força peso tende a girar o corpo para restaurar a posição; geometricamente o braço de alavanca faz com que o torque tenha magnitude
Devemos também escolher o sinal certo: se
é positivo para um desvio para um lado, o torque gravitacional tende a produzir aceleração angular no sentido oposto (é restaurador). Portanto o torque restaurador (com sinal) é
Aqui o sinal negativo indica que o torque é oposto ao deslocamento
, ou seja, é restaurador.
Passo 5
Linearização para pequenos ângulos: a aproximação de pequenos ângulos (explicando bem) vem da série de Taylor da função seno em torno de zero:
Para
pequeno os termos de ordem superior são desprezíveis, então usamos
. Aplicando isso ao nosso problema com
obtemos
Isto tem exatamente a forma de um “torque elástico” linear, análogo à Lei de Hooke
na translação. Assim podemos identificar a constante de torção efetiva
porque
.
Passo 6
Aplicando a segunda lei de Newton para rotações: a equação do movimento para o pequeno deslocamento
é
Reorganizando para a forma canônica de uma equação harmônica:
Comparando com a equação padrão
, identificamos
Logo a pulsação angular é
A partir disso a frequência (número de oscilações por segundo) é
e o período (tempo de uma oscilação) é
Resposta
Linearizado: