Uma iniciante em eletrônica deseja projetar um capacitor simples de 1.0 nF para sintonizar seu rádio de galena, usando duas chapas de alumínio como placas, com algumas folhas de papel entre elas desempenhando a função de um dielétrico. O papel possui uma constante dielétrica de 3.0 , e a espessura de uma folha é de 0.20 mm . (a) Supondo que as folhas de papel meçam 22 \times 28 \mathrm{~cm} e ela corte o alumínio com as mesmas dimensões, quantas folhas de papel devem ser usadas entre as placas para se obter a capacitância adequada? \square
(b) Suponha que, por conveniência, ela opte por usar uma única folha de papel-cartão, com a mesma constante dielétrica, porém com espessura de 12.0 mm , em vez do papel. Qual área de chapa de alumínio ela necessitará para que as placas apresentem 1.0 nF de capacitância (resposta em \mathrm{m}^{2} com duas casas decimais)? \square
(c) Suponha que ela recorra à alta tecnologia e encontre uma folha de Teflon com a mesma espessura do papel-cartão para usar como um dielétrico. Ela necessitará de uma área maior ou menor de Teflon em comparação ao papel-cartão? \square

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos. Perguntas:
  1. Quantas folhas de papel de espessura 0,20\\ \mathrm{mm} e área 22\times28\\ \mathrm{cm} são necessárias para construir um capacitor de 1,0\\ \mathrm{nF} usando papel com constante dielétrica 3,0?
  2. Se usarmos uma única folha de cartão com mesma constante dielétrica 3,0 e espessura 12,0\\ \mathrm{mm}, qual área de placa é necessária para obter 1,0\\ \mathrm{nF} (responder em \mathrm{m}^2 com duas casas decimais)?
  3. Se trocarmos o cartão por uma folha de Teflon com a mesma espessura, precisaremos de área maior ou menor em comparação ao cartão?
Dados fornecidos (vou listar numericamente, todos em notação TeX):
\begin{aligned} & C = 1,0\\ \mathrm{nF} = 1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{F},\\\ & \varepsilon_r(\text{papel}) = 3{,}0,\\\ & \text{espessura de uma folha de papel } t_{\text{folha}} = 0{,}20\\ \mathrm{mm} = 0{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\\\ & \text{dimensões da folha: } 22\times28\\ \mathrm{cm} \Rightarrow A_{\text{folha}} = 0{,}22\times0{,}28\\ \mathrm{m}^2,\\\ & \text{espessura do cartão } d_{\text{cartão}} = 12{,}0\\ \mathrm{mm} = 12{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\\\ & \varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\\ (\text{permissividade do vácuo}). \end{aligned}õããá

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): um capacitor de placas paralelas com dielétrico homogêneo tem capacitância dada por
C = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\frac{A}{d},
onde:
  • \,C é a capacitância em farads ( \mathrm{F}),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}),
  • \varepsilon_r é a constante dielétrica relativa do material entre as placas (adimensional),
  • A é a área de sobreposição das placas em metros quadrados ( \mathrm{m}^2),
  • d é a separação entre as placas (espessura do dielétrico) em metros ( \mathrm{m}).
Rearranjos úteis que vamos usar:
  • Para encontrar a distância necessária d:
d = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\frac{A}{C}.
  • Para encontrar a área necessária A:
A = \frac{C\,d}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r}.
Explicação rápida: a capacitância cresce se aumentamos a área A, cresce se o dielétrico tiver maior \varepsilon_r, e decresce se aumentamos a distância d. Beleza — agora aplicamos aos itens.

Passo 3

Resolução do item (a): quantas folhas de papel usar?
  1. Calcule a área de uma folha (convertendo centímetros para metros):
A_{\text{folha}} = 0{,}22\\ \mathrm{m}\times0{,}28\\ \mathrm{m} = 0{,}0616\\ \mathrm{m}^2.
  1. Usamos a fórmula para obter a distância necessária d que faz C=1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{F}:
d_{\text{necessário}} = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\frac{A_{\text{folha}}}{C}.á
Substituindo os números:
d_{\text{necessário}} = \frac{8{,}85\times10^{-12}\times 3{,}0\times 0{,}0616}{1{,}0\times10^{-9}}\\ \mathrm{m}.á
  1. Faço a conta passo a passo:
8{,}85\times10^{-12}\times 3{,}0 = 2{,}655\times10^{-11},
2{,}655\times10^{-11}\times 0{,}0616 = 1{,}636\ldots\times10^{-12},
d_{\text{necessário}} = \frac{1{,}636\times10^{-12}}{1{,}0\times10^{-9}} = 1{,}636\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}636\\ \mathrm{mm}.á
  1. Cada folha tem espessura t_{\text{folha}} = 0{,}20\\ \mathrm{mm}. O número de folhas necessário é
n = \frac{d_{\text{necessário}}}{t_{\text{folha}}} = \frac{1{,}636\\ \mathrm{mm}}{0{,}20\\ \mathrm{mm}} = 8{,}18\ldotsá
  1. Como só podemos usar um número inteiro de folhas, escolhemos o inteiro que produz uma capacitância mais próxima de 1{,}0\\ \mathrm{nF}. Vamos verificar n=8 e n=9:
  • Para n=8: d=8\times0{,}20\\ \mathrm{mm}=1{,}60\\ \mathrm{mm}. A capacitância real será
C = \varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A_{\text{folha}}}{d} = \frac{1{,}636\times10^{-12}}{1{,}60\times10^{-3}} = 1{,}0225\times10^{-9}\\ \mathrm{F}\approx 1{,}02\\ \mathrm{nF}.
  • Para n=9: d=9\times0{,}20\\ \mathrm{mm}=1{,}80\\ \mathrm{mm}. Então
C = \frac{1{,}636\times10^{-12}}{1{,}80\times10^{-3}} = 0{,}909\times10^{-9}\\ \mathrm{F}\approx 0{,}91\\ \mathrm{nF}.
  1. Comparando: n=8 1{,}02\\ \mathrm{nF} (muito perto de 1{,}00\\ \mathrm{nF}), enquanto n=9 0{,}91\\ \mathrm{nF} (mais longe). Portanto a escolha prática e mais próxima é
\boxed{n = 8\\ \text{folhas}.}

Passo 4

Resolução do item (b): usar uma única folha de cartão de espessura 12{,}0\\ \mathrm{mm}.
  1. Converter a espessura para metros:
d_{\text{cartão}} = 12{,}0\\ \mathrm{mm} = 12{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0{,}012\\ \mathrm{m}.ã
  1. Reorganizo a fórmula para achar a área necessária:
A = \frac{C\,d}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r}.
  1. Substituo os valores ( C=1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{F}, d=0{,}012\\ \mathrm{m}, \varepsilon_r=3{,}0):
A = \frac{1{,}0\times10^{-9}\times 0{,}012}{8{,}85\times10^{-12}\times 3{,}0}.
  1. Calculo passo a passo:
\text{numerador} = 1{,}0\times10^{-9}\times0{,}012 = 1{,}2\times10^{-11},
\text{denominador} = 8{,}85\times10^{-12}\times3{,}0 = 2{,}655\times10^{-11},
A = \frac{1{,}2\times10^{-11}}{2{,}655\times10^{-11}} = 0{,}452... \\ \mathrm{m}^2.
  1. O enunciado pede a resposta em \mathrm{m}^2 com duas casas decimais. Arredondando:
\boxed{A = 0{,}45\\ \mathrm{m}^2.}

Passo 5

Resolução do item (c): Teflon com a mesma espessura do cartão — área maior ou menor?
  1. Ideia central: para mesma capacitância C e mesma espessura d, a área necessária é inversamente proporcional a \varepsilon_r:
A = \frac{C\,d}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r}\quad\Rightarrow\quad A\propto\frac{1}{\varepsilon_r}.
Logo, quanto menor for \varepsilon_r, maior a área requerida.
  1. Constante dielétrica típica do Teflon (PTFE) é cerca de \varepsilon_r(\text{Teflon})\approx 2{,}1 (valor típico; como o enunciado não deu, uso este valor padrão). Comparando com o cartão ( \varepsilon_r=3{,}0):
\frac{A_{\text{Teflon}}}{A_{\text{cartão}}} = \frac{\varepsilon_r(\text{cartão})}{\varepsilon_r(\text{Teflon})} = \frac{3{,}0}{2{,}1}\approx 1{,}43.ãã
Ou seja, com Teflon precisaríamos de cerca de 43\% mais área do que com o cartão.
  1. Conclusão direta (resposta pedida): com Teflon (menor \varepsilon_r) será necessária uma área maior do que com o cartão. Portanto:
\boxed{\text{maior área (precisaríamos de área maior usando Teflon).}}áíá

Resposta

8 folhas de papel
0{,}45\\ \mathrm{m}^2
maior área

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