Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de
centímetros por segundo ao quadrado. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento. Determine a posição
em função do tempo
e faça um esboço do seu gráfico.
Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 1 centímetro e colocado em movimento com uma velocidade para baixo de 10 centímetros por segundo.
Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 1 centímetro e colocado em movimento com uma velocidade para baixo de 10 centímetros por segundo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas bem claras:
- Massa do corpo:
. - A mola, sob o peso dessa massa, estica
. - Aceleração da gravidade:
. - Não há amortecimento (logo movimento livre oscilatório).
- O sistema é puxado para baixo
além da posição de equilíbrio e solto com velocidade inicial para baixo de .
Perguntas pedidas:
- Qual a frequência do movimento?
- Qual o período?
- Qual a amplitude?
- Determine a função posição
(posição em função do tempo) e faça um esboço do gráfico.
Observação: não resolvo nada aqui, só enumerei os dados e o que é pedido.
Passo 2
Vamos achar a constante da mola
usando a lei de Hooke no equilíbrio estático. Aula rápida: quando o corpo fica parado esticando a mola, a força elástica da mola equilibra o peso. A lei de Hooke diz que a força elástica vale
(magnitude
) e o peso tem magnitude
. No equilíbrio,
, onde:
-
é a constante da mola (unidades compatíveis com massa e comprimento), -
é a elongação até o equilíbrio.
Usando os dados:
Substituindo
,
e
(tudo em cm e g):
Logo
. (Unidade implícita: força por comprimento em unidades cgs; o importante é o valor numérico consistente para usar em
.)
Passo 3
Agora escrevemos a equação do movimento. Explicação didática: é conveniente medir
a partir da posição de equilíbrio estático (assim a gravidade some da equação). Escolho
positivo para baixo, medido em centímetros a partir do equilíbrio estático. Com essa escolha, a equação diferencial da massa-spring sem amortecimento é:
porque o termo
já foi cancelado ao medir a partir do equilíbrio. Aqui:
-
é a aceleração (segunda derivada de em relação a ), -
e são como acima.
Substituindo
e
obtemos
Dividindo por
,
Passo 4
Identificamos a frequência angular
que aparece na equação padrão
. Aqui
, logo
Breve explicação:
(omega) é a frequência angular — indica quantos radianos por segundo o oscilador percorre; ela está ligada à constante da mola e à massa por
.
Passo 5
Converter
em frequência e período. Fórmulas:
Substituindo
:
Explicação prática:
diz quantas oscilações por segundo;
é o tempo de uma oscilação completa. Ambos derivam diretamente de
.
Passo 6
Agora resolvemos a EDO com as condições iniciais. A solução geral de
é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui
.
Usamos as condições dadas (medindo
a partir do equilíbrio):
- deslocamento inicial: foi puxado para baixo
, então , - velocidade inicial para baixo
, então .
Aplicando
, obtemos
.
Derivando:
Em
:
Como
e
, temos
, daí
.
Portanto a solução particular é
Passo 7
Calcular a amplitude e dar uma forma única mais intuitiva. Se tivermos
a amplitude
é
Aqui
,
, então
Também podemos escrever
como uma única cosseno com fase:
onde
Logo
Interpretação: o movimento é harmônico simples com amplitude
, frequência angular
, e fase inicial
.
Passo 8
Informações úteis para o esboço (como desenhar na prova):
- O movimento oscila entre
e em torno da posição de equilíbrio . - Em
temos (ponto inicial entre o equilíbrio e o máximo inferior). - O primeiro máximo (valor
) ocorre quando , isto é em
valor
.
- O período completo é
, então a cada o movimento se repete.
Como esboçar: desenhe uma senoide/cossenoide com amplitude
centrada em zero, marque
com
, marque o máximo em
, o próximo cruzamento
ocorrerá aproximadamente em
depois do máximo, etc. Isso já dá um gráfico claro e suficiente em prova.
Resposta
Amplitude