Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de 10^{3} centímetros por segundo ao quadrado. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento. Determine a posição u em função do tempo t e faça um esboço do seu gráfico.
Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 1 centímetro e colocado em movimento com uma velocidade para baixo de 10 centímetros por segundo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas bem claras:
  • Massa do corpo: m=100\\ \text{g}.
  • A mola, sob o peso dessa massa, estica 10\\ \text{cm}.
  • Aceleração da gravidade: g=10^{3}\\ \text{cm/s}^2.
  • Não há amortecimento (logo movimento livre oscilatório).
  • O sistema é puxado para baixo 1\\ \text{cm} além da posição de equilíbrio e solto com velocidade inicial para baixo de 10\\ \text{cm/s}.
Perguntas pedidas:
  1. Qual a frequência do movimento?
  2. Qual o período?
  3. Qual a amplitude?
  4. Determine a função posição u(t) (posição em função do tempo) e faça um esboço do gráfico.
Observação: não resolvo nada aqui, só enumerei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Vamos achar a constante da mola k usando a lei de Hooke no equilíbrio estático. Aula rápida: quando o corpo fica parado esticando a mola, a força elástica da mola equilibra o peso. A lei de Hooke diz que a força elástica vale -k x (magnitude k x) e o peso tem magnitude m g. No equilíbrio, k x = m g, onde:
  • k é a constante da mola (unidades compatíveis com massa e comprimento),
  • x é a elongação até o equilíbrio.
Usando os dados:
k = \frac{m g}{x}.
Substituindo m=100, g=10^{3} e x=10 (tudo em cm e g):
k=\frac{100\cdot 10^{3}}{10}= \frac{100000}{10}=10000.
Logo \displaystyle k=10000. (Unidade implícita: força por comprimento em unidades cgs; o importante é o valor numérico consistente para usar em \omega.)

Passo 3

Agora escrevemos a equação do movimento. Explicação didática: é conveniente medir u(t) a partir da posição de equilíbrio estático (assim a gravidade some da equação). Escolho u(t) positivo para baixo, medido em centímetros a partir do equilíbrio estático. Com essa escolha, a equação diferencial da massa-spring sem amortecimento é:
m\,u''(t)+k\,u(t)=0,
porque o termo m g já foi cancelado ao medir a partir do equilíbrio. Aqui:
  • u''(t) é a aceleração (segunda derivada de u em relação a t),
  • m e k são como acima.
Substituindo m=100 e k=10000 obtemos
100\,u''(t)+10000\,u(t)=0.
Dividindo por 100,
u''(t)+100\,u(t)=0.

Passo 4

Identificamos a frequência angular \omega que aparece na equação padrão u''+\omega^{2}u=0. Aqui \omega^{2}=100, logo
\omega=\sqrt{100}=10\\ \text{rad/s}.
Breve explicação: \omega (omega) é a frequência angular — indica quantos radianos por segundo o oscilador percorre; ela está ligada à constante da mola e à massa por \omega=\sqrt{k/m}.

Passo 5

Converter \omega em frequência e período. Fórmulas:
\text{frequência (ciclos por segundo)}\\ f=\frac{\omega}{2\pi}, \qquad \text{período}\\ T=\frac{2\pi}{\omega}.êí
Substituindo \omega=10:
f=\frac{10}{2\pi}=\frac{5}{\pi}\\ \text{Hz}\approx 1{,}5915\\ \text{Hz},
T=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}\\ \text{s}\approx 0{,}6283\\ \text{s}.
Explicação prática: f diz quantas oscilações por segundo; T é o tempo de uma oscilação completa. Ambos derivam diretamente de \omega.

Passo 6

Agora resolvemos a EDO com as condições iniciais. A solução geral de
u''+\omega^{2}u=0
é
u(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui \omega=10.
Usamos as condições dadas (medindo u a partir do equilíbrio):
  • deslocamento inicial: foi puxado para baixo 1\\ \text{cm}, então u(0)=1,
  • velocidade inicial para baixo 10\\ \text{cm/s}, então u'(0)=10.
Aplicando u(0)=A\cos0 + B\sin0 = A, obtemos A=1.
Derivando:
u'(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t).
Em t=0:
u'(0)=\omega B.
Como u'(0)=10 e \omega=10, temos 10=B\cdot 10, daí B=1.
Portanto a solução particular é
u(t)=\cos(10t)+\sin(10t)\qquad(\text{em centímetros}).í

Passo 7

Calcular a amplitude e dar uma forma única mais intuitiva. Se tivermos
u(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
a amplitude R é
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}}.
Aqui A=1, B=1, então
R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\\ \text{cm}\approx1{,}414\\ \text{cm}.
Também podemos escrever u(t) como uma única cosseno com fase:
u(t)=R\cos(\omega t-\varphi),
onde
\varphi=\arctan\!\bigg(\frac{B}{A}\bigg)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Logo
u(t)=\sqrt{2}\,\cos\!\big(10t-\tfrac{\pi}{4}\big)\\ \text{cm}.
Interpretação: o movimento é harmônico simples com amplitude \sqrt{2}\\ \text{cm}, frequência angular 10\\ \text{rad/s}, e fase inicial \pi/4.

Passo 8

Informações úteis para o esboço (como desenhar na prova):
  • O movimento oscila entre -\sqrt{2}\\ \text{cm} e +\sqrt{2}\\ \text{cm} em torno da posição de equilíbrio u=0.
  • Em t=0 temos u(0)=1\\ \text{cm} (ponto inicial entre o equilíbrio e o máximo inferior).
  • O primeiro máximo (valor +\sqrt{2}\\ \text{cm}) ocorre quando 10t-\pi/4=0, isto é em
t=\frac{\pi/4}{10}=\frac{\pi}{40}\approx 0{,}07854\\ \text{s},
valor u=\sqrt{2}\\ \text{cm}.
  • O período completo é T=\pi/5\approx0{,}6283\\ \text{s}, então a cada 0{,}6283\\ \text{s} o movimento se repete.
Como esboçar: desenhe uma senoide/cossenoide com amplitude \sqrt{2} centrada em zero, marque t=0 com u=1, marque o máximo em t\approx0{,}0785\\ \text{s}, o próximo cruzamento u=0 ocorrerá aproximadamente em t\approx T/4 depois do máximo, etc. Isso já dá um gráfico claro e suficiente em prova.

Resposta

f=\dfrac{5}{\pi}\\ \text{Hz}\approx 1{,}5915\\ \text{Hz}
T=\dfrac{\pi}{5}\\ \text{s}\approx 0{,}6283\\ \text{s}
Amplitude =\sqrt{2}\\ \text{cm}\approx 1{,}414\\ \text{cm}
u(t)=\cos(10t)+\sin(10t)=\sqrt{2}\cos\!\big(10t-\tfrac{\pi}{4}\big)\\ \text{cm}

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