Differentiate.
F(y)=\left(\frac{1}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}}\right)\left(y+5 y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
F(y)=\Bigl(\frac{1}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}}\Bigr)\,(y+5y^{3}).
O que vamos usar: primeiro simplificar o produto e depois aplicar a regra de potência termo a termo.

Passo 2

Expandindo e simplificando o produto termo a termo:
\frac{1}{y^{2}}\cdot y=\frac{1}{y}, \quad \frac{1}{y^{2}}\cdot 5y^{3}=5y,
-\frac{3}{y^{4}}\cdot y=-\frac{3}{y^{3}}, \quad -\frac{3}{y^{4}}\cdot 5y^{3}=-\frac{15}{y}.
Somando tudo,
F(y)=5y+\frac{1}{y}-\frac{15}{y}-\frac{3}{y^{3}} =5y-\frac{14}{y}-\frac{3}{y^{3}}.

Passo 3

Reescrevendo em potências de y:
F(y)=5y-14y^{-1}-3y^{-3}.
Agora aplicamos a regra de potência ( \frac{d}{dy}y^{n}=n\,y^{n-1}) em cada termo:
\frac{d}{dy}(5y)=5, \quad \frac{d}{dy}(-14y^{-1})=-14\cdot(-1)y^{-2}=14y^{-2}, \quad \frac{d}{dy}(-3y^{-3})=-3\cdot(-3)y^{-4}=9y^{-4}.

Passo 4

Juntando os resultados,
F'(y)=5+14y^{-2}+9y^{-4}.

Resposta

F'(y)=5+\frac{14}{y^{2}}+\frac{9}{y^{4}}.

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